Гільбертів простір: відмінності між версіями

[[ImageФайл:Standing waves on a string.gif|thumb|Стан [[Вібрація струни|вібруючої струни]] можна змоделювати як точку у гільбертовому просторі. Декомпозиція вібруючої струни на її вібрації в різних [[Обертон|обертонахобертон]]ах задається проєкцією точки на координатні осі в просторі.]]

'''Гі́льбертів про́стір''' (на честь [[Давид Гільберт|Давида Гільберта]])  — це узагальнення поняття [[Евклідів простір|евклідового простору]] на [[Нескінченновимірний простір|нескінченновимірний]] випадок. Є лінійним простором над [[поле (математика)|полем]] дійсних або комплексних чисел ([[прийменник]] «над» означає, що у такому просторі дозволені операції множення на скаляри із відповідних полів), із визначеним [[скалярний добуток|скалярним добутком]]. Останній дозволяє:

Гільбертові простори часто виникають у математиці та фізиці - — як правило, як функціональні простори. Вперше вони досліджувалися з цієї точки зору в першому десятилітті 20-го століття [[Давид Гільберт|Давидом Гільбертом]], [[Ерхард Шмідт|Ерхардом Шмідтом]] і [[Фріджес Ріс|Фріджесом Рісом]]. Гільбертові простори є незамінними інструментами в теорії диференціальних рівнянь у частинних похідних, квантовій механіці, аналізі Фур’єФур'є (який включає застосування до обробки сигналів і теплопередачі) та ергодичній теорії (яка формує математичну основу термодинаміки). [[Джон фон Нейман]] ввів термін "«Гільбертовий простір"» для абстрактної концепції, яка лежить в основі багатьох із цих різноманітних застосувань. Успіх методів простору Гільберта започаткував дуже плідну еру [[Функціональний аналіз|функціонального аналізу]]. Окрім класичних евклідових векторних просторів, прикладами гільбертових просторів є простори квадратично-інтегрованих функцій, простори послідовностей, простори Соболєва, що складаються з узагальнених функцій, і простори Харді голоморфних функцій.

Геометрична інтуїція відіграє важливу роль у багатьох аспектах теорії гільбертового простору. Так, у гільбертовому просторі справедливі точні аналоги [[Теорема Піфагора|теореми Піфагора]] і [[Правило паралелограма|правила паралелограма]]. На глибшому рівні - — перпендикулярна проекція на [[лінійний підпростір]] або підпростір (аналог «опускання висоти» в трикутнику) відіграє значну роль у вирішенні проблем оптимізації. Елемент гільбертового простору може бути однозначно заданий його координатами відносно ортонормованого базису, за аналогією з [[Декартова система координат|декартовими координатами]] в класичній геометрії. Коли цей базис є зліченно-нескінченним, це дозволяє ототожнити гільбертовий простір з простором нескінченних послідовностей, які сумуються квадратами. Останній простір часто в старій літературі називають простором Гільберта.

''Гільбертовим простором'' називається<ref name="eom">{{Cite web |url=http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space |title=Архівована копія |accessdate=22 лютого 2013 |archive-date=15 червня 2013 |archive-url=https://web.archive.org/web/20130615073308/http://www.encyclopediaofmath.org/index.php/Hilbert_space }}</ref><ref>В.&nbsp;М.&nbsp;Кадец, Курс функционального анализа, Х:Видавництво [[Харківський національний університет імені В. Н. Каразіна|ХНУ]], 2004&nbsp;— с.290</ref> [[векторний простір]] <math>H</math>над полем [[Дійсні числа|дійсних]] або [[комплексні числа|комплексних чисел]] разом зі скалярним добутком&nbsp;— функцією від двох змінних <math> (\cdot,\cdot):H\times H\to \R</math>(або <math>\Complex</math>, у випадку використання поля комплексних чисел), що задовольняє такі умови:

# <math>(\alpha x,y)=\alpha(x,y)</math>, де <math>x,y\in H</math>, <math>\alpha</math> -&nbsp;— елемент скалярного поля. (<math>\R</math> або <math>\Complex</math>)

:: знайдеться елемент <math>x\in H</math>, що для нього

:: Тоді кажуть, що <math>x</math> є ''границею'' послідовності <math>x_n</math>.

Слід зазначити, що умова '''6''' означає [[Повний метричний простір|повноту]] простору відносно [[Норма (математика)|норми]], заданої, як <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math> (те, що наведена функція справді є нормою, випливає із вказаних вище властивостей скалярного добутку); враховуючи лінійність, маємо, що кожен гільбертів простір є одночасно [[банахів простір|банаховим простором]] (тобто, повним [[нормований простір|нормованим]] векторним простором) із нормою <math> \|x\| = \sqrt{(x,x)}</math>.

'''Передгільбертів простір''' &nbsp;— векторний простір зі скалярним добутком (умови '''1'''-'''5'''). Умови [[повний простір|повноти простору]] '''6''' немає, тому він, загалом, не є банаховим.

:: <math>\|x+y\|^2+\|x-y\|^2=2(\|x\|^2+\|y\|^2)</math>

(випливає із властивостей скалярного добутку і означення норми у гільбертовому просторі; <math>x,y\in H</math> -&nbsp;— довільні) доводиться, що <math>L</math> є ізометрією тоді і тільки тоді, коли воно зберігає норму, тобто <math>\|L(v)\|=\|v\|</math> для будь-якого <math>v\in H_1.</math> Ізометрія між двома гільбертовими просторами, що є [[Бієкція|бієкцією]], називається

і''' ортонормальною''', якщо додатково <math>(u_i,u_i)=1</math> для будь-якого <math>i\in I.</math>

Отже, ортонормальна система складається з попарно ортогональних векторів гільбертового простору одиничної довжини. Система векторів називається''' повною''', якщо множина їх скінчених лінійних комбінацій &nbsp;— [[щільна множина|щільна]] у <math>H.</math>

Повна ортонормальна система векторів гільбертового простору <math>H</math> називається''' ортонормальним базисом''' у <math>H.</math> Повнота ортонормальної системи векторів перевіряється за допомогою рівності Парсеваля, див. нижче.

''' Координати''' вектора <math>w\in H</math> відносно даного ортонормального базису &nbsp;— це скаляри <math>a_i=(u_i,w), i\in I.</math> Вектор <math>w</math> повністю визначений своїми координатами і може бути формально розкладений за елементами ортонормального базису:

: <math>w=\sum_{i\in I}a_i u_i=\sum_{i\in I}(u_i,w)u_i.</math>

'''Сепарабельні''' гільбертові простори утворюють найважливіший клас [[Нескінченновимірний простір|нескінченновимірних]] гільбертових просторів. Вони можуть бути охарактеризовані як такі, в яких можна обрати ортонормальний базис із [[зліченна множина|зліченної множини]] векторів. Виявляється, що

будь-який (нескінченовимірний) сепарабельний гільбертів простір <math>H</math> стає ізоморфним до <math>l^2.</math>

Дійсно, розгляньмо відображення

: <math>L:H\to l^2, \quad L(v)=\{(v,u_n): n=1,2,\ldots\},</math>

яке будь-якому вектору <math>v\in H</math> ставить у відповідність послідовність його координат відносно ортонормального базису <math>\{u_n:n\in\N\}.</math> Тоді <math>L</math> &nbsp;— це лінійне відображення, і потрібно ще переконатися, що воно є ізометрією з образом <math>l^2.</math> Ці властивості випливають з наступної''' рівності Парсеваля'''.

Припустимо, що <math>\{u_1,u_2,\ldots\}</math> &nbsp;— це скінченна або зліченна ортонормальна система векторів у гільбертовому просторі <math>H.</math> Повнота цієї системи еквівалентна виконанню наступної рівності для всіх векторів <math>v \in H:</math>

: <math>\sum |(u_i,v)|^2=(v,v),</math>

де сума розповсюджується на всі елементи даної системи векторів. У будь-якому разі, ряд у лівій частині цієї рівності збігається і його сума не перевищує праву частину, цей факт називається''' нерівністю Бесселя'''.

: <math>2a_0^2+\sum_{n=1}^{\infty}(a_n^2+b_n^2)=

\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)^2 dx,\quad</math> де

: <math>a_0=\frac{1}{2\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)dx,\quad a_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\cos(nx)dx, \quad b_n=\frac{1}{\pi}\int_{-\pi}^{\pi}f(x)\sin(nx)dx, \quad n\geq 1</math> &nbsp;— [[коефіцієнти Фур'є]] дійсної функції <math>f(x), -\pi\leq x\leq\pi.</math> За елементарними перетвореннями, з цього випливає, що комплексні експоненціальні функції <math>\{e^{inx}=\cos(nx)+i\sin(nx), n\in\Z\}</math> утворюють ортонормальний базис у означеному вище комплексному гільбертовому просторі <math>L^2[-\pi,\pi].</math>

* ''Морен К.'', Методы гильбертова пространства. &nbsp;— М.: Мир, 1965. &nbsp;— 570 c.