Просте кільце: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 5:
* Розглянемо кільце <math>R</math> таке, що <math>R^2 \neq \{0\}</math>, і аддитивна група <math>\langle R +\rangle</math> має простий порядок. Тоді кільце <math>R</math> - просте, оскільки в <math>\langle R + \rangle</math> немає власних підгруп.
* Асоціативне комутативне кільце <math>R\,</math> з одиницею є полем тоді і тільки тоді, коли <math>R\,</math> просте кільце.
::Припустимо спершу, що <math>R\,</math>
::Навпаки, припустимо <math>R\,</math> — деяке поле і <math>I\,</math> його ненульовий ідеал. Оскільки цей ідеал містить деякий ненульовий елемент <math>x\,</math> він також містить <math>r=rx^{-1}x\,</math> для всіх <math>r \in R</math>, тобто <math>I=R\,</math>, що й доводить простоту.
* Якщо <math>P\,</math> - поле, <math>n\,</math> - додатне [[ціле число]], то кільце [[матриця (математика)|матриць]] <math>\mathrm{Mat}(P, n)\,</math> — просте.
| |||