Границя: відмінності між версіями

[перевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
м доповнення
Рядок 1:
{{Otheruses|Кордон}}
{{значення}}
'''Границя''' — одне з основних понять [[функціональний аналіз|функціонального аналізу]] (а також [[математичний аналіз|математичного аналізу]], який є скінченновимірним випадком функціонального), яке означає, що деякий об'єкт, змінюючись, нескінченно наближається до певного сталого значення. Точний зміст отримує лише при наявності коректного визначення поняття близькості між [[Елемент (математика)|елементами]] ([[точка|точками]]ми) [[множина|множини]], в якій вказана величина набуває значення. Основні поняття [[математичний аналіз|математичного аналізу]] — [[неперервна функція|неперервність]], [[похідна]], [[інтеграл]] — визначають через границю.
 
== Границя послідовності ==
Рядок 7:
 
Стале число <math>a</math> називають границею послідовності ([[Варіанта|варіанти]]) <math>x=x_n</math>, якщо для кожного додатного числа <math>\varepsilon</math>, скільки б малим воно не було, існує такий номер <math>N</math>, що всі значення <math>x_n</math>, в яких номер <math>n > N</math>, задовольняють нерівність
: <math>|x_n - a| < \varepsilon</math>
Той факт, що <math>a</math> є границею варіанти, позначають так: <math>\lim_{n \rightarrow \infty } x_n=a</math> або просто <math>\lim x=a</math> чи <math>x_n \rightarrow a, n \rightarrow \infty</math>. Номер <math>N</math> залежить від вибору числа <math>\epsilon</math>. При зменшенні <math>\varepsilon</math> число <math>N</math> буде збільшуватись. Тобто, чим більш близьких значень <math>x_n</math> до <math>a</math> вимагати, тим ймовірніше більш далеких значення ряду доведеться розглядати.
 
Рядок 13:
{{main|Границя функції в точці}}
{{Double image|right|Límite 01.svg|{{#expr: (200 * (800 / 800)) round 0}}|Limit-at-infinity-graph.png|{{#expr: (200 * (619 / 405)) round 0}}|Точка {{math|''x''}} знаходиться в межах {{math|δ}} одиниць {{math|''c''}}, {{math|''f''(''x'')}}&nbsp;— в межах {{math|ε}} одиниць {{math|''L''}}.|Для всіх {{math|''x'' > ''S''}}, {{math|''f''(''x'')}} перебуває в межах {{math|ε}} із {{math|''L''}}.}}
 
=== Означення за Коші ===
Нехай <math>A \subset \mathbf{R}, \quad f:A \to \mathbf{R}</math>,
Рядок 24 ⟶ 25:
або
: <math>f(x) \to a </math> при <math> x \to x_0 </math>
 
=== Означення за Гейне ===
Число <math>A</math> називають границею функції <math>f(x)</math> в точці <math>x_0</math>, якщо для довільної послідовності <math>\left\{ x_n \right\}_{n=1}^{\infty}</math>, що збігається до числа <math>x_0</math>, відповідна послідовність значеннь функції <math>\left\{ f \left( x_n \right) \right\}_{n=1}^{\infty}</math> збіжна і має границею одне і теж саме число <math>A</math>.
Рядок 29 ⟶ 31:
== Границя послідовності функцій ==
{{у планах|дата=травень 2020}}
 
== Визначні границі ==
{{основна стаття|Визначні границі}}
{{у планах|дата=травень 2022}}
 
== Див. також ==