Псевдодиференціальний оператор: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 100:
\int_{\mathbb{R}^n} \mathcal{P}(x,y) u(y)\, dy. </math>
Більшість важливих класів символів (наприклад описані нижче <math>S_{{\rho ,\,\delta }}^{m}</math> для 0 ≤ ''δ < ρ'' ≤ 1, зокрема <math>S_{{1 ,\,0 }}^{m}</math> і <math>S^m</math>) є інваріантними щодо [[Дифеоморфізм|дифеоморфізму]]. Тому відповідні псевдодиференціальні оператори можна задати на [[Диференційовний многовид|диференційовних многовидах]].
Формула заміни змінних при дифеоморфізмі <math> \kappa : \Omega \rightarrow \Omega_{1} </math>, де <math> \Omega , \Omega_{1} </math>
є відкритими областями гладкого многовиду <math> X </math>, записується як
:<math>
P_{1} ( y , \eta ) \mid_ {y = \kappa ( x) } \sim \
\left . \sum_\alpha
\frac{1}{\alpha ! }
P ^ {( \alpha ) } ( x , {} ^ {t} \kappa ^ \prime ( x) \eta )
D_{z} ^ \alpha e ^ {i \kappa_{x} ^ {\prime\prime} ( z) \cdot \eta }
\right |_{z = x } .
</math>
Тут <math> P ( x , \xi ) </math> є символом оператора <math> P </math>;
<math> P_{1} ( x , \xi ) </math> є символом оператора <math> P_{1}</math> заданого як <math> P_{1} u = [ P ( u \circ \kappa ) ] \circ \kappa ^ {- 1} </math>, тобто отриманого із <math>P</math> заміною змінних <math>\kappa</math>;
<math>\kappa^\prime( x) </math> позначає [[Матриця Якобі|матрицю Якобі]] відображення <math>\kappa </math>;
<math>{}^{t} \kappa^\prime (x)</math> є [[Транспонована матриця|транспонованою матрицею]]; і
:<math>
P^{( \alpha ) } ( x , \xi ) = \
\partial _ \xi^\alpha P( x ,\xi) ,\ \
\kappa_{x}^{\prime\prime}(z) = \kappa(z) - \kappa(x) - \kappa^\prime
( x) ( z - x ) .
</math>
=== Приклади класів символів ===
| |||