Псевдодиференціальний оператор: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 112:
* ''P''(''x'',ξ) є гладкою функцією на '''R'''<sup>''n''</sup> × '''R'''<sup>''n''</sup> і для деяких дійсних чисел числа ''m<sub>1</sub>, m<sub>2,</sub>'' для всіх мультиіндексів ''α,β'' існують константи ''C<sub>α, β</sub>'' (що залежать від мультиіндексів) такі, що для всіх x,ξ ∈'''R'''<sup>n</sup>, виконуються нерівності:
C_{\alpha,\beta}\, (1 + |\xi|^2)^{\frac{m_1 - |\alpha|}{2}} (1 + |x|^2)^{\frac{m_2 - |\beta|}{2}} </math>
:Тоді ''P'' належить класу символів <math>\scriptstyle{S^{m_1,m_2}}</math>. Відповідні оператори ''P''(''x'',''D'') називаються '''симетрично глобальними''' '''псевдодиференціальними операторами'''. * Одним із найпоширеніших і досить загальних є клас символів, що є узагальненням першого прикладу. Нехай <math>\Omega \subset \R^n</math> є відкритою множиною і <math> P(x,\xi) \in C^\infty(\Omega \times \R^n). </math> Нехай для дійсних чисел ''ρ'' і ''δ'' (на практиці переважно розглядається випадок 0 ≤ ''ρ, δ'' ≤ 1), деякого дійсного числа ''m'', для всіх мультиіндексів α,β і компактних підмножин <math>K \subset \Omega</math> існують константи ''C''<sub>α, β, K</sub> , (що залежать від мультиіндексів і компактних підмножин) такі, що для всіх ''x ''∈ '''Ω''', ξ ∈'''R'''<sup>''n''</sup>, виконуються нерівності:
*:<math> |\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta P(x,\xi)| \leq C_{\alpha,\beta, K} \, (1 + |\xi|)^{m - \rho|\alpha|+\delta|\beta|.} </math> Тоді ''P'' належить класу символів <math>S_{{\rho ,\,\delta }}^{m}</math>.
== Властивості ==
| |||