Псевдодиференціальний оператор: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 43:
\\ & \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i x \xi} P(\xi)\hat u(x)\, d\xi.
\end{align} </math>
Тобто остаточно за допомогою
: <math> P(D) u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i x \xi} P(\xi) \hat u(x)\, d\xi.
</math>
:
Розписуючи перетворення Фур'є також еквівалентно можна записати:
:<math> P(D) u (x) =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} P(\xi) u(y)\, dy \, d\xi. </math>
=== Розв'язок диференціальних рівнянь із частковими похідними ===
Рядок 81 ⟶ 85:
'''Псевдодиференціальний оператор''' ''P''(''x'',''D'') на '''R'''<sup>''n''</sup> є оператором значення якого на функції Шварца ''u(x)'' є функцією від ''x'' заданою як:
: <math>
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i x\cdot \xi} P(x,\xi) \hat{u}(\xi) \, d\xi </math>
де <math>\hat{u}(\xi)</math> є [[перетворення Фур'є]] ''u'' і символ ''P''(''x'',ξ) належить деякому ''класу символів''. Різні означення класів символів дають різні типи псевдодиференціальних операторів.
Еквівалентно розглядаючи інший варіант представлення диференціального оператора можна задати псевдодиференціальний оператор за допомогою подвійних символів, тобто у вигляді:
:<math> P(x, D) u (x) =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} a(x,y,\xi) u(y)\, dy \, d\xi. </math>
Якщо <math> a(x,y,\xi) = P(x,\xi) </math> то ця формула є еквівалентною попередній.
Вираз:
:<math> P(x, D) u (x) =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} a(x,y,\xi) u(y)\, dy \, d\xi. </math>
Функція <math> \mathcal{P}(x,y) = \frac{1}{(2\pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} a(x,y,\xi)\, d\xi </math> називається ядром Шварца відповідного псевдодиференціального оператора і можна простіше записати:
:<math> P(x, D) u (x) =
\int_{\mathbb{R}^n} \mathcal{P}(x,y) u(y)\, dy. </math>
=== Приклади класів символів ===
Серед найважливіших класів символів:
* ''P''(''x'',ξ) є гладкою функцією на '''R'''<sup>''n''</sup> × '''R'''<sup>''n''</sup> і для деякого дійсного числа ''m'', для всіх мультиіндексів α,β існують константи ''C''<sub>α, β</sub> (що залежать від мультиіндексів) такі, що для всіх ''x'',ξ ∈'''R'''<sup>''n''</sup>, виконуються нерівності
:: <math> |\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta P(x,\xi)| \leq C_{\alpha,\beta} \, (1 + |\xi|)^{m - |\alpha|} </math>
:Тоді ''P'' належить класу символів <math>\scriptstyle{S^m_{1,0}}</math>. Відповідний оператор ''P''(''x'',''D'') називається '''псевдодиференціальним оператором порядку m''' і належить класу <math>\scriptstyle{\Psi^m_{1,0}}.</math>
== Властивості ==
Рядок 98 ⟶ 118:
Диференціальні оператори є ''локальними'' у розумінні, що для одержання результату дії оператора необхідні значення функції лише у околі точки. Псевдодиференціальні оператори є ''псевдолокальними'', що неформально означає, що при застосуванні до узагальнених функцій вони не утворюють сингулярностей у точках де узагальнена функція уже була гладкою.
== Див. також ==
* [[Диференціальний оператор]]
* [[Мультиіндекс]]
* [[Перетворення Фур'є]]
* [[Узагальнена функція]]
== Примітки ==
{{reflist}}
== Посилання ==
* Mark S. Joshi. [https://arxiv.org/abs/math.AP/9906155 Lectures on Pseudo-differential Operators] на сайті arxiv.org.
* {{springer|title=Pseudo-differential operator|id=p/p075660}}
== Література ==
* {{cite book|last1=Friedlander|first1=F.G.|last2=Joshi|first2=M.S.|title=Introduction to the Theory of Distributions|publisher=Cambridge University Press|publication-place=Cambridge, UK|year=1998|isbn=0-521-64971-4}}.
* {{cite book|first=Lars|last=Hörmander|title=The Analysis of Linear Partial Differential Operators III: Pseudo-Differential Operators
|year=1987|publisher=Springer|isbn=3-540-49937-7}}
* {{cite book|first=M. A.|last=Shubin|title=Pseudodifferential Operators and Spectral Theory|year=2001|publisher=Springer-Verlag|isbn=3-540-41195-X}}
* {{cite book|first=Michael E.|last=Taylor|title=Pseudodifferential Operators|year=1981|publisher=Princeton Univ. Press|publication-place=Princeton, N.J.|series = Princeton Mathematical Series| volume = 34|pages= xi+452|isbn=0-691-08282-0}}
* {{cite book|first=Michael E.|last=Taylor|title=Pseudodifferential operators and nonlinear PDE|year=1991|publisher=Birkhäuser |publication-place=Boston, MA|series = Progress in Mathematics| volume = 100|pages= 213|isbn=0-8176-3595-5}}
* {{cite book|first=Francois|last=Treves|title=Introduction to Pseudo Differential and Fourier Integral Operators|year=1981|publisher=Plenum Publ. Co.|series = University Series in Mathematics|isbn=0-306-40404-4}}
[[Категорія:Диференціальні оператори]]
| |||