Псевдодиференціальний оператор: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 49:
=== Розв'язок диференціальних рівнянь із частковими похідними ===
: <math> P(D) \, u = f. </math>
: <math> P(\xi) \, \hat u (\xi) = \hat f(\xi). </math>
Рядок 71:
# для ''u'' і ƒ існують перетворення Фур'є.
Останню вимогу можна послабити за допомогою
Даний запис розв'язку рівняння є подібним до представлення дії диференціального оператора, але тут 1/''P''(ξ) не є поліноміальною функцією.▼
=== Означення псевдодиференціальних операторів ===▼
▲Даний запис є подібним до представлення дії диференціального оператора, але тут 1/''P''(ξ) не є поліноміальною функцією.
▲== Означення псевдодиференціальних операторів ==
Псевдодиференціальні оператори є узагальненням диференціальних операторів.
'''Псевдодиференціальний оператор''' ''P''(''x'',''D'') на '''R'''<sup>''n''</sup> є оператором значення якого на функції Шварца ''u(x)'' є функцією від ''x'' заданою як:
: <math>\quad P(x,D) u (x) =
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i x\cdot \xi} P(x,\xi) \hat{u}(\xi) \, d\xi </math>
де <math>\hat{u}(\xi)</math> є [[перетворення Фур'є]] ''u'' і символ ''P''(''x'',ξ) належить деякому ''класу символів''.
* ''P''(''x'',ξ) є гладкою функцією на '''R'''<sup>''n''</sup> × '''R'''<sup>''n''</sup> і для деякого дійсного числа ''m'', для всіх мультиіндексів α,β існують константи ''C''<sub>α, β</sub> (що залежать від мультиіндексів) такі, що для всіх ''x'',ξ ∈'''R'''<sup>''n''</sup>, виконуються нерівності
:: <math> |\partial_\xi^\alpha \partial_x^\beta P(x,\xi)| \leq C_{\alpha,\beta} \, (1 + |\xi|)^{m - |\alpha|} </math>
== Властивості ==
| |||