Псевдодиференціальний оператор: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
{{редагую}}
У [[Математичний аналіз|математичному аналізі]] '''псевдодиференціальний оператор''' є розширенням поняття [[диференціальний оператор]]
Вивчення псевдодиференціальних операторів розпочалося у середині 1960-их років у працях Джозефа Кона, Луї Ніренберга, Унтербергера і Бокобза.<ref>{{harvnb|Stein|1993|loc=Chapter 6}}</ref>
Псевдодиференціальні оператори використовуються у теорії [[Диференціальне рівняння з частинними похідними|диференціальних рівнянь із частковими похідними]] і [[Квантова теорія поля|квантовій теорії поля]]. Зокрема вони використовуються у другому доведенні [[Теорема Атії — Зінгера про індекс|теореми Атії — Зінгера]] з використанням [[Топологічна К-теорія|K-теорії]].
==
===
Лінійний [[диференціальний оператор]] визначений на просторі гладких функцій <math>u</math> із [[Компактний простір|компактним]] [[Носій функції|носієм]] у '''R'''<sup>''n''</sup>
: <math> P(D) := \sum_{|\alpha| \leqslant m} a_\alpha(x) \, D^\alpha. </math>
У
▲визначений на просторі гладких функцій <math>u</math> із [[Компактний простір|компактним]] [[Носій функції|носієм]] у '''R'''<sup>''n''</sup>.
: <math>
є багаторазовим застосуванням [[Часткова похідна|часткового диференціювання]], де <math>\partial_j</math> позначає диференціювання по ''j''-ій змінній. Константи <math>-i</math> ([[уявна одиниця]]) вводяться для спрощення подальших формул.▼
Для вказаного оператора важливе значення має [[Многочлен|поліноміальна функція]] (яка називається '''символом'''):
\frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i (x - y) \xi} P(\xi) u(y)\, dy \, d\xi </math>▼
: <math> P(\xi) = \sum_{|\alpha| \leqslant m} a_\alpha(x) \, \xi^\alpha, </math>
▲У формулах вище <math>\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math> позначає [[мультиіндекс]], <math>a_\alpha</math> є [[Комплексне число|комплексними числами]] і
У цій формулі <math>\xi = (\xi_1,\ldots,\xi_n)</math> є незалежними змінними і для мультиіндекса <math>\alpha = (\alpha_1,\ldots,\alpha_n)</math> використано позначення <math> \xi^\alpha = \xi_1^{\alpha_1}\cdot \xi_2^{\alpha_2}\cdot \ldots \cdot \xi_n^{\alpha_n}. </math>
На просторі функцій Шварца (зокрема функцій із компактним носієм) оператор можна записати за допомогою інтегральних перетворень, зокрема перетворення Фур'є. Це представлення можна тоді узагальнити і отримати псевдодиференціальний оператор.
▲є багаторазовим застосуванням часткового диференціювання, де <math>\partial_j</math> позначає диференціювання по ''j''-ій змінній. Константи <math>-i</math> вводяться для спрощення подальших формул.
: <math>\hat u (\xi) := \int e^{- i y \xi} u(y) \, dy</math>
є коректно визначеним і теж є функцією Шварца. Зокрема також, згідно теореми про [[Перетворення Фур'є|обернене перетворення Фур'є]]:
: <math>u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \int e^{i x \xi} \hat u (\xi) d\xi.
\frac{1}{(2 \pi)^n} \iint e^{i (x - y) \xi} u (y) \, dy \, d\xi </math>▼
Аналогічні прямі і обернені перетворення Фур'є існують і для функцій <math>D^\alpha u</math> для будь-якого мультиіндекса <math>\alpha.</math> Окрім того із [[інтегрування частинами]] одержується рівність <math>\widehat{D^\alpha u} (\xi) = \xi^\alpha \hat{u} (\xi).</math>
Із використанням цих властивостей
: <math> \begin{align} P(D) u (x) =& \sum_{|\alpha| \leqslant m} a_\alpha(x) \, D^\alpha u (x) =
\\& \sum_{|\alpha| \leqslant m} a_\alpha(x) \frac{1}{(2 \pi)^n} \int_{\mathbb{R}^n} e^{i x \xi}\xi^\alpha \hat{u} (\xi)
▲\\ & \frac{1}{(2 \pi)
\end{align} </math>
Тобто остаточно за допомогою имвоа диференціального оператора і перетворення Фур'є на просторі функцій Шварца диференціальний оператор можна задати як:
▲: <math> P(D) u (x) = \frac{1}{(2 \pi)^n} \
</math>
=== Розв'язок диференціальних рівнянь із частковими похідними ===
| |||