Псевдодиференціальний оператор: відмінності між версіями

Вилучено вміст Додано вміст
Створена сторінка: У математичному аналізі '''псевдодиференціальний оператор''' є розширенням поняття диференціальний оператор. Вивчення псевдодиференціальних операторів розпочалося у середині 1960-их років у працях Джозефа Кона, Луї Ніренберг...
(Немає відмінностей)

Версія за 15:04, 10 січня 2022

У математичному аналізі псевдодиференціальний оператор є розширенням поняття диференціальний оператор. Вивчення псевдодиференціальних операторів розпочалося у середині 1960-их років у працях Джозефа Кона, Луї Ніренберга, Унтербергера і Бокобза.[1]

Псевдодиференціальні оператори використовуються у теорії диференціальних рівнянь із частковими похідними і квантовій теорії поля. Зокрема вони використовуються у другому доведенні теореми Атії — Зінгера з використанням K-теорії.

Мотивація

Лінійні диференціальні оператори із сталими коефіцієнтами

Розглянемо лінійний диференціальний оператор із сталими коефіцієнтами,

 

визначений на просторі гладких функцій   із компактним носієм у Rn. Цей оператор можна записати за допомогою перетворення Фур'є і множення на поліноміальну функцію (яка називається символом):

 

і оберненого перетворення Фур'є, у виді:

 

У формулах вище   позначає мультиіндекс,   є комплексними числами і

 

є багаторазовим застосуванням часткового диференціювання, де   позначає диференціювання по j-ій змінній. Константи   вводяться для спрощення подальших формул.

Перетворення Фур'є гладкої функції u із компактним носієм у Rn, є рівним

 

і згідно формули обертання Фур'є:

 

Застосувавши оператор P(D) для цього представлення u і використовуючи рівність

 

одержується відповідне представлення диференціального оператора.

Розв'язок диференціальних рівнянь із частковими похідними

Для знаходження розв'язку диференціального рівняння

 

до обох сторін рівності формально застосовується перетворення Фур'є і одержується алгебричне рівняння

 

Якщо символ P(ξ) не є рівним 0 для жодного ξ ∈ Rn, тоді можна здійснити ділення на P(ξ):

 

Згідно формули обертання Фур'є тоді розв'язок можна записати як

 

При цьому вважається:

  1. P(D) є лінійним диференціальним оператором із сталими коефіцієнтами,
  2. його символ P(ξ) ніде не є рівним нулю,
  3. для u і ƒ існують перетворення Фур'є.

Останню вимогу можна послабити за допомогою узагаьнених функцій.

В останній формулі розписавши перетворення Фур'є ƒ можна отримати

 

Даний запис є подібним до представлення дії диференціального оператора, але тут 1/P(ξ) не є поліноміальною функцією.

Означення псевдодиференціальних операторів

Псевдодиференціальні оператори є узагальненням диференціальних операторів.

Псевдодиференціальний оператор P(x,D) на Rn є оператором значення якого на функції u(x) є функцією від x заданою як:

 

де   є перетворення Фур'є u і символ P(x,ξ) належить деякому класу символів. Наприклад, якщо P(x,ξ) є гладкою функцією на Rn × Rn із властивістю

 

для всіх x,ξ ∈Rn, всіх мультиіндексів α,β, деяких констант Cα, β і дійсного числа m, тоді P належить класу символів  . Відповідний оператор P(x,D) називається псевдодиференціальним оператором порядку m і належить класу  

Властивості

Лінійні диференціальні оператори порядку m із гладкими обмеженими коефіцієнтами є псевдодиференціальними операторами порядку m. Композиція PQ двох псевдодиференціальних операторів PQ є знову псевдодиференціальним оператором і символ PQ можна обчислити за допомогою символів P і Q. Спряжений і транспонований оператори до псевдодиференціального оператора є псевдодиференціальними операторами.

Якщо диференціальний оператор порядку m є рівномірно еліптичним (порядку m) і оборотним, його обернений оператор є псевдодиференціальним оператором порядку −m. Це означає, що лінійні еліптичні диференціальні рівняння можна явно розв'язувати за допомогою псевдодиференціальних операторів.

Диференціальні оператори є локальними у розумінні, що для одержання результату дії оператора необхідні значення функції лише у околі точки. Псевдодиференціальні оператори є псевдолокальними, що неформально означає, що при застосуванні до узагальнених функцій вони не утворюють сингулярностей у точках де узагальнена функція уже була гладкою.

Примітки

  1. (Stein, 1993, Chapter 6)