Числова стійкість: відмінності між версіями

 

У чисельній лінійній алгебрі основною проблемою є нестабільності, викликані близькістю до різних особливостей (singularity), таких як дуже малі або майже рівні власні значення. З іншого боку, в чисельних алгоритмах для диференціальних рівнянь проблема полягає в зростанні похибок округлення та/або спочатку невеликих флуктуацій у початкових даних, які можуть призвести до значного відхилення остаточної відповіді від точного розв'язку.

== Стійкість у чисельних методах лінійної алгебри ==

Існують різні способи формалізації концепції стійкості. У чисельній лінійній алгебрі використовують такі визначення прямої, зворотної та змішаної стійкості.

Розглянемо задачу, що розв'язується чисельним алгоритмом, як функцію {{Mvar|f}}, що відображає дані {{Mvar|x}} у розв'язок {{Mvar|y}}. Результат алгоритму, скажімо, {{Mvar|y*}}, зазвичай буде відхилятися від «істинного» розв'язку {{Mvar|y}}. Основними причинами похибки є [[Округлення|похибки округлення]] і {{Не перекладено|похибка відкидання|похибки відкидання|en|Truncation error}}. '''Пряма похибка''' алгоритму — це різниця між результатом і розв'язком; у цьому випадку {{Math|1=Δ''y'' = ''y''* − ''y''}}. '''Зворотна похибка''' є найменшою Δ{{Mvar|x}} такою, що {{Math|1=''f'' (''x'' + Δ''x'') = ''y''*}}; іншими словами, зворотна похибка каже нам, яку задачу насправді розв'язав алгоритм. Пряма і зворотна похибки пов'язані [[Число обумовленості|числом обумовленості]]: пряма похибка за модулем не більша, ніж число обумовленості, помножене на модуль зворотної похибки.

 

Звичайно «малий» — це відносний термін, і його визначення залежить від контексту. Часто ми хочемо, щоб похибка була того ж порядку, або, можливо, на кілька порядків більшою, ніж [[Машинний епсилон|одиниця округлення]].

[[Файл:Mixed_stability_diagram.svg|міні|Змішана стійкість комбінує поняття прямої і зворотної помилки.]]

 

* Алгоритм є ''стійким у прямому напрямку'', якщо його пряма похибка, поділена на число обумовленості задачі, мала.

 

== Див. також ==

* [[Число обумовленості]]

* [[Число з рухомою комою]]

 

== Примітки ==

 

== Література ==