Теорема Сильвестра — Галлаї: відмінності між версіями

'''Теорема Сильвестра''' - — класичний результат [[Комбінаторна геометрія|комбінаторної геометрії]] про [[Конфігурація прямих|конфігурації прямих]] на площині.

Якщо на площині дано таку скінченну множину прямих, що через будь-яку точку перетину двох даних прямих проходить ще одна з них, то всі вони проходять через одну точку або паралельні.
{{/рамка}}

Нехай одна з даних прямих <math>\ell</math> не проходить через одну з точок перетину <math>P</math>. Знайдемо точку перетину і пряму, для яких відстань менша, ніж від <math>P</math> до <math>\ell</math>. Оскільки число перетинів скінченне, це дасть суперечність. Випадок, коли через <math>P</math> проходить пряма, не паралельна <math>\ell</math>, зображено на малюнку. Якщо ж третя пряма, що проходить через <math>P</math>, паралельна до прямої <math>\ell</math>, то розглянемо трикутник <math>A'B'P'</math>, середні лінії якого утворюють трикутник <math>ABP</math>, де <math>A</math> і <math>B</math> -&nbsp;— точки перетину двох прямих, що проходять через <math>P</math>, з прямою <math>\ell</math>. Якщо третя пряма, що проходить через <math>A</math>, не перетинає відрізка <math>BP'</math>, то відстань від точки <math>P</math> до неї менша, ніж до <math>\ell</math>. Аналогічно, якщо третя пряма, що проходить через <math>B</math>, не перетинає відрізка <math>AP'</math>, то відстань від точки <math>P</math> до неї менша, ніж до <math>\ell</math>. Якщо ж третя пряма, що проходить через <math>A</math>, перетинає відрізок <math>BP'</math> і третя пряма, що проходить через <math>B</math>, перетинає відрізок <math>AP'</math>, то виникає точка перетину цих прямих. Якщо вона не збігається з <math>P'</math>, то вона ближче до прямої <math>\ell</math>, ніж <math>P</math>. Якщо ж вона збігається з <math>P'</math>, то можна застосувати вищенаведене міркування до неї і прямої <math>\ell</math>. Виникне трикутник <math>PP''P'''</math>, середні лінії якого утворюють трикутник <math>ABP'</math>. Замінюючи тепер у наших міркуваннях трикутник <math>ABP</math> трикутником <math>P''P'A</math> і діючи далі аналогічно, отримуємо суперечність зі скінченністю множини. ■