Z-розподіл Фішера

Z-розподіл Фішера - статистичний розподіл половини логарифма від F розподіленої випадкової величини:

Fisher's z
Параметри	$d_{1}>0,\ d_{2}>0$ deg. of freedom
Носій функції	$x\in (-\infty ;+\infty )\!$
Розподіл імовірностей	${\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{\left(d_{1}+d_{2}\right)/2}}}\!$
Функція розподілу ймовірностей (cdf)	{{{cdf}}}
Середнє	{{{mean}}}
Медіана	{{{median}}}
Мода	$0$
Дисперсія	{{{variance}}}
Коефіцієнт асиметрії	{{{skewness}}}
Коефіцієнт ексцесу	{{{kurtosis}}}
Ентропія	{{{entropy}}}
Твірна функція моментів (mgf)	{{{mgf}}}
Характеристична функція	{{{char}}}

Рональд Фішер

$z={\frac {1}{2}}\log F$

Вперше його було описано Рональдом Фішером у статті, виголошеній на Міжнародному математичному конгресі 1924 року в Торонто. Сьогодні натомість зазвичай працюють з F-розподілом.

Функції густини ймовірності та розподілу можна вивести за допомогою F- розподілу в точці $x'=e^{2x}\,$. Однак середнє значення та дисперсія не є такою ж трансформацією.

Функція щільності записуються

$f(x;d_{1},d_{2})={\frac {2d_{1}^{d_{1}/2}d_{2}^{d_{2}/2}}{B(d_{1}/2,d_{2}/2)}}{\frac {e^{d_{1}x}}{\left(d_{1}e^{2x}+d_{2}\right)^{(d_{1}+d_{2})/2}}},$

де В - бета-функція .

Коли кількість ступенів свободи зростає ($d_{1},d_{2}\rightarrow \infty$) розподіл прямує до нормального із середнім значенням

${\bar {x}}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{2}}}-{\frac {1}{d_{1}}}\right)$

і дисперсією

$\sigma _{x}^{2}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{d_{1}}}+{\frac {1}{d_{2}}}\right).$

Пов’язаний розподіл

• Якщо $X\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$ тоді $e^{2X}\sim \operatorname {F} (n,m)\,$ ( F -розподіл )
• Якщо $X\sim \operatorname {F} (n,m)$ тоді ${\tfrac {\log X}{2}}\sim \operatorname {FisherZ} (n,m)$

 

Ланки

• Запис у MathWorld