Потужність множини: відмінності між версіями

[перевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування
Рядок 19:
Припускаючи [[Аксіома вибору|аксіому вибору]] істинною, потужність множини формально визначається як найменше [[порядкове число]] <math>\alpha</math>, за якого між <math>X</math> і <math>\alpha</math> можна встановити [[Бієкція|бієктивну відповідність]]. Це визначення також називають розподілом кардинальних чисел за фон Нейманом.
 
Якщо не приймати аксіому вибору, то потрібен інший підхід. Найперше визначення потужності множини <math>X</math> (воно неявно присутнє в роботах Кантора і явно сформульоване у Фреге, а також у [[Principia Mathematica]]) являє собою клас <math>[X]</math> усіх множин, [[Рівнопотужність|рівнопотужних]] <math>X</math>. В [[Теорія множин|аксіоматичних системах]], заснованих на теорії [[Теорія множин Цермело — Френкеля|ZFC]], таке визначення не підходить, оскільки за непорожньої <math>X</math> така сукупність занадто велика, щоб підходити під визначення множини. Точніше, якщо <math>X \ne \varnothing</math>, то існує [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивне відображення]] універсальної множини в <math>[X]</math>, за якого кожна множина <math>m</math> переходить у <math>\{m\} \times X</math>, звідки, в силу [[{{нп|Аксіома обмеження розміру|аксіоми обмеження розміру]]||Axiom of limitation of size}} випливає, що <math>[X]</math>&nbsp;— власний клас. Це визначення можна використовувати в [[Теорія типів|теорії типів]] та {{Не перекладено|Нові основи (математика)|«нових основах»|en|New Foundations}}, а також у пов'язаних з ними аксіоматичних системах. У разі ZFC визначення можна використовувати, якщо обмежити колекцію <math>[X]</math> рівнопотужними множинами з найменшим [[Універсум{{нп|Ранг фон(теорія Нейманамножин)|рангом]]||Rank (set theory)}} (цей прийом, запропонований [[Дана Скотт|Даною Скоттом]], працює завдяки тому, що сукупність об'єктів, які мають заданий ранг, є множиною).
 
Формальний порядок серед кардинальних чисел уводиться так: <math>|X| \le |Y|</math> означає, що множину <math>X</math> можна [[Ін'єкція (математика)|ін'єктивно]] відобразити на <math>Y</math>. За [[Теорема Кантора — Бернштейна|теоремою Кантора&nbsp;— Бернштейна]], з пари нерівностей <math>|X| \le |Y|</math> і <math>|Y| \le |X|</math> випливає, що <math>|X| = |Y|</math>. Аксіома вибору еквівалентна твердженням про те, що для будь-яких множин <math>X</math> і <math>Y</math> виконується, принаймні, одна з нерівностей <math>|X| \le |Y|</math> або <math>|Y| \le |X|</math>.