|
'''ФакторгрупаФактор-група'''<ref>[https://e2u.org.ua/s?w=фактор-група&dicts=all&highlight=on&filter_lines=on Термін у словниках]</ref> — в [[теорія груп|теорії груп]], [[група (математика)|група]] [[клас еквівалентності|класів еквівалентності]] щодо деякого [[відношення еквівалентності]]. Тобто, [[фактормножинафактор-множина]], що має властивості групи.
== Визначення ==
Легко перевірити, що це множення не залежить від вибору елементів в класах суміжності, тобто якщо <math>aH=a'H</math> і <math>bH=b'H</math>, то <math>abH=a'b'H</math>.
Воно визначає [[алгебраїчнаАлгебрична структура|структуру групи]] на множині класів суміжності, а одержана група називається факторгрупоюфактор-групою <math>G</math> по <math>H</math>.
ФакторгрупаФактор-група позначається <math>G/H</math>.
== Властивості ==
:: <math>G / {\mathrm Ker}\, \varphi \cong \varphi (G)</math>,
: тобто фактор групи <math>G</math> по ядру <math>{\mathrm Ker} \varphi</math> [[ізоморфізм|ізоморфний]] її образу <math>\varphi (G)</math> в <math>K</math>.
* ВідображеннВідображеннЯ <math>a \mapsto aH</math> задає природний [[гомоморфізм груп|гомоморфізм]] <math>G \to G/H</math>.
* [[Порядок групи(теорія груп)|Порядок]] <math>G/H</math> рівний [[індекс підгрупи|індексу підгрупи]] <math>[G:H]</math>. ВУ випадку скінченної групи <math>G</math> він рівний <math>|G|/|H|</math>.
* якщоЯкщо <math>G</math> [[абелева група|абелева]], [[нільпотентна група|нільпотентна]], [[циклічна група|циклічна]] або [[скінченнопороджена група|скінченнопороджена]], то і <math>G/H</math> буде мати такі ж властивості.
* <math>G/G</math> ізоморфна тривіальній групі (<math>\{e\}</math>), <math>G/{e}</math> ізоморфна <math>G</math>.
* Нехай <math>G = \Z, \; H = 2\Z</math>, тоді <math>G/H</math> ізоморфна <math>\Z_2</math>.
* Нехай <math>G = \mathbf{UT}_n</math> група [[невироджена матриця|невироджених]] [[верхня трикутнаТрикутна матриця|верхніх трикутнихверхньотрикутних матриць]], <math>H = \mathbf{SUT}_n</math> група верхніх [[Трикутна матриця|унітрикутних матриць]], тоді <math>G/H</math> ізоморфна групі [[діагональна матриця|діагональних матриць]].
== Див. також ==
| 