15 694
редагування
Base (обговорення | внесок) м (+тривимірна модель) |
|||
[[Файл:Academ_Stellated_dodecagon.svg|міні|Побудова ззірченого [[дванадцятикутник]]а: [[Правильний многокутник|правильного
[[Файл:Compound of five tetrahedra (full).stl|thumb|Тривимірна модель з'єднання п'яти тетраедрів]]
В [[геометрія|геометрії]], '''ззірченням''' називають процес продовження [[многокутник|многокутника]] (у двовимірному [[Простір|просторі]]), [[багатогранник]]а в тривимірному просторі, чи, взагалі, [[політоп]]а в ''n-''вимірному просторі для формування нової фігури. Починаючи з початкової фігури, процес розтягує певні елементи, такі як ребра чи [[Грань (геометрія)|грані]], зазвичай симетрично, поки вони перетнуться знову щоб замкнути межі нової фігури. Нова фігура називається ззірченням початкової фігури.▼
▲
== Означення Кеплера ==
Симетричне ззірчення правильного многокутника утворює правильний зірчастий многокутник або многокутне з'єднання. Такі многокутники характеризуються числом разів ''m'', межі багатокутника намотуються навколо центру фігури. Як і всі правильні багатокутники, їх вершини лежать на колі. ''m'' також означає кількість оборотів навколо центру кола, щоб дістатися з одного кінця даного ребра до іншого, починаючи з 1.
Правильному зірчастому багатокутнику відповідає його [[символ Шлефлі]] {n''/m''}, де ''n''
Якщо ''n'' і ''т'' мають спільний дільник, то така фігура є правильним з'єднанням. Наприклад {6/2} є правильним з'єднанням двох трикутників {3} або [[Гексаграма|
Деякі автори використовують символ Шлефлі для таких правильних з'єднань. Інші розглядають символ, що вказує поєдинчий шлях, що намотується ''m'' разів на n''/m'' вершин так, що одне ребро перетинає інше, і через кожну вершину проходять ''m'' разів. У цьому випадку може використовуватись видозмінений символ для з'єднань, наприклад, 2{3} для гексаграми і 2{5/2} для правильного з'єднання двох пентаграм.
{| class="wikitable cx-highlight" width="640" style="margin-bottom: 10px;"
|[[Файл:Pentagram_green.svg|150x150пкс]]<br/>
[[Пентаграма]], {5/2}, є єдиним ззірченням [[
|[[Файл:Regular_star_figure_2(3,1).svg|150x150пкс]]<br/>
[[Гексаграма
| rowspan="2" |[[Файл:Enneagon_stellations.svg|375x375пкс]]<br/>
Дев'ятикутник {9} має 3 еннеаґрамні форми:<br/>
{9/2}, {9/3}, {9/4}. {9/3}
|-
| colspan="2" |[[Файл:Obtuse_heptagram.svg|150x150пкс]][[Файл:Acute_heptagram.svg|150x150пкс]]
{7/2}, {7/3}
|}
Як і семикутник [[восьмикутник]] теж має два [[Октаграма|октаґраматичні]] ззірчення, одне, {8/3} є зірчастий многокутник, а інший, {8/2} є з'єднанням двох [[
== Ззірчення багатогранників ==
|[[Файл:Seventeenth_stellation_of_icosahedron.png|70x70пкс]]
|}
Багатогранник ззірчується продовженням ребер чи граней багатогранника, до їх перетину і утворення нового багатогранника або з'єднання. Внутрішність нового багатогранника, ділиться гранями на певне число комірок. Торцеві площини багатогранника можуть ділити простір на безліч таких комірок, і з продовженням ззірчення будуть відсікатися більше таких комірок. Для симетричних багатогранників, ці комірки поділяться на групи, або множини, конгруентних комірок
Це може призвести до величезної кількості можливих форм, тому часто застосовують додаткові критерії для зменшення множини значущих і унікальних ззірчень.
Сукупність комірок, що утворюють замкнутий шар навколо ядра називається оболонкою. Для симетричних багатогранників, оболонка може складатися з одного або більше типів комірок.
На основі таких ідей, було визначено кілька вузьких цікавих категорій ззірчень.
* '''Осьові ззірчення.''' Додавання послідовних оболонок ядра багатогранника призводить до утворення множини осьових ззірчень.
* '''Повністю витримані ззірчення.''' На нижній межі комірок можуть виступати ззовні, ніби
* '''Одновершинні сузір'ях.''' Дослівно
* '''Основні ззірчення.''' Якщо багатогранник має площини дзеркальної симетрії, тоді кажуть, що ребра, що перетинають такі площини лежать на основних лініях. Якщо всі ребра лежать на основних лініях
* '''Ззірчення Міллера.''' У
Можна також визначити деякі інші категорії:
* '''Часткове ззірчення''', таке у якому не всі елементи даної вимірності продовжили.
* '''Майже-симетричні ззірчення'''
[[Архімедове тіло|Архімедові тіла]] і їх двійники теж можна ззірчити. Тут, як правило, додається правило, що всі вихідні торцеві площини повинні бути присутніми у ззірченні, тобто не розглядають часткові ззірчення. Наприклад, [[куб]]
Узагальненнями правил Міллера є:
* 187 ззірчень тріакісового тетраедра
* 358,833,097 ззірчень ромбічного триаконтагедрона
* 17 ззірчень [[
* Невідоме число ззірчень [[ікосододекаедр]]а; є 7071671 не хіральних ззірчень, але число хіральних ззірчень невідоме (19 показані в Веннінґерових
Сімнадцять неопуклих рівномірних багатогранників є ззірченнями твердих Архімедових тіл.
=== Правила Міллера ===
У книзі ''П'ятдесят дев'ять ікосаедрів'', Ж. К.
Ці правила були адаптовані для використання з ззірчень багатьох інших багатогранників. За правилами Міллера маємо:
* Не існує ззірчень [[куб]]а, тому що несуміжні грані паралельні і, отже, не можуть бути продовжені настільки щоб перетнутись і утворити нові ребра
* Існує 1 ззірчення [[октаедр]]а, ззірчений октаедр
* Є 3 ззірчення [[додекаедр]]: в малий ззірчений додекаедр, [[великий додекаедр]] і великий ззірчений додекаедр,
* Є 58 ззірчень [[
Багато
=== Інші правила ззірчення ===
Правила Міллера в жодному разі не є
Поки альтернативний набір правил, який це враховує ще не були повністю розроблені. Найбільшого прогресу було досягнуто опираючись на те, що ззірчення
Деякі багатогранологи вважають, що ззірчення
Багато прикладів ззірчень можна знайти у списку Веннінґерових моделей ззірчень.
Першим систематичним йменуванням ззірчень багатогранників була система йменування [[Артур Келі|Келі]] зірчастих багатогранників (нині відомих як [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранники Кеплера-Пуансо]]). Ця система була широко, проте не завжди систематично використовувана для інших багатогранників і вищих політопів.
[[Джон Конвей]] розробив термінологію для ззірчених [[Многокутник|багатокутників]], [[Многогранник|багатогранників]] і 4-політопів (Кокстер, 1974). У цій системі процес продовження ребер для створення нових фігур називається ''ззірченням'', а продовження граней називається ''покращенням, а ''розширенням комірок називається ''звеличенням ''(останнє не поширюється на багатогранники). Це дозволяє систематичне використання таких слів як
== Ззірчення до нескінченности ==
Веннінґер помітив, що деякі багатогранники, такі як куб, не мають ніяких скінченних ззірчень. Проте можна побудувати комірки ззірчення у вигляді призм, що тягнуться до нескінченності. Фігура, що складається з таких призм називається нескінченним ззірченням або ззірченням до нескінченности. Відповідно до більшости означень багатогранників, таке ззірчення не є багатогранником.
Веннінґерові фігури виявилися подвоєннями рівномірного гемібагатогранника, де
== Від математики до мистецтва ==
[[Файл:Magnus_Wenninger_polyhedral_models.jpg|ліворуч|міні|[[Магнус Веннінґер]] з деякими зі своїх моделей ззірчень багатогранників в 2009 році]]
Поряд зі своїм внеском у математику, Магнус Веннінґер розглядається в контексті взаємозв'язку [[Математика та мистецтво|математики і мистецтва]]
[[Файл:Marble_floor_mosaic_Basilica_of_St_Mark_Vencice.jpg|міні|Мармурова підлога [[мозаїка]] на [[Паоло Учелло|Паоло Уччелло]], [[Собор Святого Марка|базиліка Святого Марка, Венеція]], ц. 1430]]
Італійський ренесансний художник [[Паоло Учелло|Паоло Уччелло]] створив мозаїчну підлогу, на якій зображено невеликий ззірчений додекаедр в [[Собор Святого Марка|Базиліці Св. Марка, Венеція]], ц. 1430. Зображення Учелло використали як символ [[Венеційський бієнале|Венеційського Бієнале]] в 1986 році на тему
== Джерела ==
{{примітки}}
* Bridge, N. J.; Facetting the dodecahedron, ''Acta Crystallographica'' '''A30''' (1974), pp.
* [[Гарольд Коксетер|Coxeter]], H.S.M.; ''Regular complex polytopes'' (1974).
* [[Гарольд Коксетер|Coxeter]], H.S.M.; Du Val, P.; Flather, H. T.; and Petrie, J. F. ''The Fifty-Nine Icosahedra'', 3rd Edition. Stradbroke, England: Tarquin Publications (1999).
* Inchbald, G.; In search of the lost icosahedra, ''The Mathematical Gazette'' '''86''' (2002), p.p.
* Messer, P.; Stellations of the rhombic triacontahedron and beyond, ''Symmetry: culture and science'', 11 (2000), pp
* <cite class="citation book">Wenninger, Magnus (1974). </cite><cite class="citation book">''Polyhedron Models''. Cambridge University Press. </cite><cite class="citation book">ISBN 0-521-09859-9.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AStellation&rft.aufirst=Magnus&rft.aulast=Wenninger&rft.btitle=Polyhedron+Models&rft.date=1974&rft.genre=book&rft.isbn=0-521-09859-9&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"> </span>
* <cite class="citation book">Wenninger, Magnus (1983). </cite><cite class="citation book">''Dual Models''. Cambridge University Press. </cite><cite class="citation book">ISBN 0-521-24524-9.</cite><span class="Z3988" title="ctx_ver=Z39.88-2004&rfr_id=info%3Asid%2Fen.wikipedia.org%3AStellation&rft.aufirst=Magnus&rft.aulast=Wenninger&rft.btitle=Dual+Models&rft.date=1983&rft.genre=book&rft.isbn=0-521-24524-9&rft.pub=Cambridge+University+Press&rft_val_fmt=info%3Aofi%2Ffmt%3Akev%3Amtx%3Abook"> </span>
== Посилання ==
{{стовпці|2}}
* <span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Stellation">Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Stellation.html
* [http://www.steelpillow.com/polyhedra/icosa/ Stellating the Icosahedron and Facetting the Dodecahedron]
* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator]
* [http://www.software3d.com/Enumerate.php Enumeration of stellations]
* [http://bulatov.org/polyhedra/stellation/ Vladimir Bulatov ''Polyhedra Stellation.'']
* [http://bulatov.org/polyhedra/stellation_applet/ Stellation Applet]
* [http://bulatov.org/polyhedra/StellationWithVariousSymmetries/ An Interactive Creation of Polyhedra Stellations with Various Symmetries]
* [http://members.ozemail.com.au/~llan/i59.html The Fifty-Nine Icosahedra
* [http://www.georgehart.com/virtual-polyhedra/stellations-icosahedron-index.html 59 Stellations of the Icosahedron, George Hart]
* [https://web.archive.org/web/20061006212927/http://www.cacr.caltech.edu/~roy/Stellate/explain.html Stellation: Beautiful Math]
|