Відмінності між версіями «Ззірчення»

[[Файл:Academ_Stellated_dodecagon.svg|міні|Побудова ззірченого [[дванадцятикутник]]а: [[Правильний многокутник|правильного многокутникмногокутника]]а  з [[Символ Шлефлі|символом Шлефлі]]  {12/5}.]]

Правильному зірчастому багатокутнику відповідає його [[символ Шлефлі]] {n''/m''}, де ''n'' - — число вершин, ''m'' - — це ''крок'' використовується для порядкування вершин довкола нього,  ''m'' і ''n — - ''[[Взаємно прості числа|взаємно прості]] (тобто не мають спільних [[Подільність|дільників]]). Роблячи ''m'' = 1 дає опуклу фігуру {''n''}.

Якщо ''n'' і ''т'' мають спільний дільник, то така фігура є правильним з'єднанням. Наприклад {6/2} є правильним з'єднанням двох трикутників {3} або [[Гексаграма|гексаграмгексаграмою]]ою, в той час як {10/4} - — з'єднання двох пентаграм {5/2}.

[[Пентаграма]], {5/2}, є єдиним ззірченням  [[Пп'ятикутник|п'ятикутника]]а

[[Гексаграма|Гексаграм]]а, {6/2}, ззірчення [[шестикутник]]а є з'єднанням двох [[трикутник]]ів.

{9/2}, {9/3}, {9/4}. {9/3} - — з'єднання 3 трикутників.

Як і семикутник [[восьмикутник]] теж має два [[Октаграма|октаґраматичні]] ззірчення, одне, {8/3} є зірчастий многокутник, а інший, {8/2} є з'єднанням двох [[Квадрат|квадратівквадрат]]ів.

Багатогранник ззірчується продовженням ребер чи граней багатогранника, до їх перетину і утворення нового багатогранника або з'єднання. Внутрішність нового багатогранника, ділиться гранями на певне число комірок. Торцеві площини багатогранника можуть ділити простір на безліч таких комірок, і з продовженням ззірчення будуть відсікатися більше таких комірок. Для симетричних багатогранників, ці комірки поділяться на групи, або множини, конгруентних комірок - — кажуть, що комірки в таких конгруентних множинах такого самого типу. Загальний метод знаходження ззірчень передбачає вибір одного чи кількох типів комірок.

Це може призвести до величезної кількості можливих форм, тому часто застосовують додаткові критерії для  зменшення множини значущих і унікальних ззірчень.

* '''Повністю витримані ззірчення.''' На нижній межі комірок можуть виступати ззовні, ніби "«навіси"». У повністю витриманих ззірчень немає таких виступів, а також всі видимі частини грані видимі з одного боку.

* '''Одновершинні сузір'ях.''' Дослівно "«одно-пікові"». Якщо у ззірченні є лиш один вид вістер, або вершин (тобто всі вершини подібні в межах однієї орбіти симетрії), вони називаються одновістряні або одновершинні. Всі такі ззірчення повністю витриманими.

* '''Основні ззірчення.''' Якщо багатогранник має площини дзеркальної симетрії, тоді кажуть, що ребра, що перетинають такі площини лежать на основних лініях. Якщо всі ребра лежать на основних лініях - — ззірчення називають основним. Всі основні ззірчення повністю витримані.

* '''Ззірчення Міллера.''' У "«П'ятдесят дев'ять ікосаедрів"» [[Гарольд Коксетер|Кокстера]], Дю Валь, Флатер і Петрі запис п'ять правил, запропонованих Міллером. Хоч ці правила стосуються тільки ікосаедрової геометрії, вони пристосували їх для довільних багатогранників. Вони забезпечують, серед іншого, що обертальна симетрія вихідного багатогранника зберігається і що кожне ззірчення відрізняється своїм виглядом. Чотири типи щойно означених ззірчень є підкласами ззірчень Міллера.

* '''Майже-симетричні ззірчення''' - — це ззірчення, де не всі елементи продовжені симетрично.

[[Архімедове тіло|Архімедові тіла]] і їх двійники теж можна ззірчити. Тут, як правило, додається правило, що всі вихідні торцеві площини повинні бути присутніми у ззірченні, тобто не розглядають часткові ззірчення. Наприклад, [[куб]] - — як правило, не розглядають як ззірчення кубооктаедра.

* 17 ззірчень [[Кубооктаедр|кубооктаедракубооктаедр]]а (4 показані у [[Магнус Веннінґер|Веннінґерових]] "«Моделях багатогранників"»)

* Невідоме число ззірчень [[ікосододекаедр]]а; є 7071671 не хіральних  ззірчень, але число хіральних ззірчень невідоме (19 показані в Веннінґерових "«Моделях багатогранників"»)

У книзі ''П'ятдесят дев'ять ікосаедрів'', Ж. К.  П.  Міллер запропонував набір правил для визначення які ззірчені фігури слід вважати "«справді значущими і окремими"».

* Є 3 ззірчення [[додекаедр]]: в малий ззірчений додекаедр, [[великий додекаедр]] і великий ззірчений додекаедр,  всі вони є [[Тіло Кеплера — Пуансо|багатогранниками Кеплера-Пуансо]].

* Є 58 ззірчень [[Ікосаедр|ікосаедраікосаедр]]а, в тому числі і [[великий ікосаедр]] (належить до багатогранників Кеплера-Пуансо) і друге і останнє ззірчення ікосаедра. 59-а модель в ''П'ятдесяти дев'яти ікосаедрах'' - — це вихідний ікосаедр.

Багато "«ззірчень Міллера"» неможливо отримати безпосередньо за допомогою методу Кеплера. Наприклад, багато мають порожнисті центри, де вихідні грані й ребра основного багатогранника повністю відсутні: немає з чого ззірчувати. З іншого боку, метод Кеплера також утворює ззірчення, які заборонені правилами Міллера, оскільки їхні комірки з'єднані ребрами або вершинами, навіть якщо їх грані окремі многокутники. На цю невідповідність довший час не звертали уваги аж до статті Інчбальда (2002).

Правила Міллера в жодному разі не є "«правильним"» шляхом обліку ззірчень. Вони засновані на поєднанні певним чином деталей зі діаграм ззірчень і не враховують топологію отриманих граней. Самі по собі існують певні цілком прийнятні ззірчення ікосаедра, які не задовольняють ці правила - — одне з них знайшов Джеймс Брідж у 1974 році, тоді як є сумніви щодо деяких "«ззірчень Міллера"», чи є вони взагалі ззірченнями - — один з набору ікосаедрових включає кілька досить розрізнених комірок, що симетрично рухаються в просторі.

Поки альтернативний набір правил, який це враховує ще не були повністю розроблені. Найбільшого прогресу було досягнуто опираючись на те, що ззірчення - — це обопільний або двоїстий процес гранулювання, причому видаляються частини багатогранника без утворення нових вершин. Для кожного ззірчення деякого багатогранника, існує [[Дуальність|подвійне]] гранулювання  подвійного багатогранника і навпаки. Вивчаючи гранулювання двоїстости, отримуємо знання про ззірчення оригіналу. Брідж знайшов нове ззірчення ікосаедра вивчаючи гранулювання його двоїстости, додекаедра.

Деякі багатогранологи вважають, що ззірчення - — це двосторонній процес, такий, що будь-які два багатогранники, що мають однакові площини граней є ззірченнями один одного. Це зрозуміло, якщо розробляти загальний алгоритм, що згодиться для використання в комп'ютерній програмі, проте щодо решти питань воно не має особливої практичної користі.

[[Джон Конвей]] розробив термінологію для ззірчених [[Многокутник|багатокутників]], [[Многогранник|багатогранників]] і 4-політопів (Кокстер, 1974). У цій системі процес продовження ребер для створення нових фігур називається ''ззірченням'', а продовження граней називається ''покращенням, а ''розширенням комірок називається ''звеличенням ''(останнє не поширюється на багатогранники). Це дозволяє систематичне використання таких слів як "«ззірчений"», "«покращений"» і "«звеличений"» для розробки назв для отриманих фігур. Наприклад Конвей запропонував деякі незначні зміни імен багатогранників Кеплера-Пуансо.

Веннінґер помітив, що деякі багатогранники, такі як куб, не мають ніяких скінченних ззірчень. Проте можна побудувати комірки ззірчення у вигляді призм, що тягнуться до нескінченності. Фігура, що складається з таких призм називається нескінченним ззірченням або ззірченням до нескінченности. Відповідно до більшости означень багатогранників, таке ззірчення не є багатогранником.

Веннінґерові фігури виявилися подвоєннями рівномірного гемібагатогранника, де "«гемі"» граней вторять вершинам до нескінченности.

Поряд зі своїм внеском у математику, Магнус Веннінґер розглядається в контексті взаємозв'язку [[Математика та мистецтво|математики і мистецтва]] , як людина, що зробила "«особливо гарні"» моделі складних ззірчених багатогранників.<ref>{{Cite web|url=http://www.ams.org/samplings/feature-column/fcarc-art5|title=Mathematics and Art. 5. Polyhedra, tilings, and dissections|publisher=American Mathematical Society|accessdate=1 September 2015|last1=Malkevitch|first1=Joseph}}</ref>

Італійський ренесансний художник [[Паоло Учелло|Паоло Уччелло]] створив мозаїчну підлогу, на якій зображено невеликий ззірчений додекаедр в [[Собор Святого Марка|Базиліці Св. Марка, Венеція]], ц. 1430. Зображення Учелло використали як символ [[Венеційський бієнале|Венеційського Бієнале]] в 1986 році на тему "«Мистецтво і Наука"».<ref name="Emmer2003">{{Cite book|url=http://books.google.com/books?id=EHRDnU29PO8C&pg=PA269|title=Mathematics and Culture I|last=Emmer|first=Michele|date=2 December 2003|publisher=Springer Science & Business Media|page=269|isbn=978-3-540-01770-7}}</ref> Те ж ззірчення є центральним у двох [[Літографія|літографіяхлітографія]]х [[Мауріц Корнеліс Ешер|Мауріца Ешера]]: К''онтраст (Порядок і Хаос)'', 1950, і Гравітація, 1952.<ref>{{Cite book|title=The Magic of M. C. Escher|year=2000|publisher=Harry N. Abrams, Inc.|isbn=0-810-96720-0|author=Locher, J. L.}}</ref>

* Bridge, N. J.; Facetting the dodecahedron, ''Acta Crystallographica'' '''A30''' (1974), pp. 548-552548—552.

* Inchbald, G.; In search of the lost icosahedra, ''The Mathematical Gazette'' '''86''' (2002), p.p. 208-215208—215.

* Messer, P.; Stellations of the rhombic triacontahedron and beyond, ''Symmetry: culture and science'', 11 (2000), pp 201-230201—230.

* <span class="citation mathworld" id="Reference-Mathworld-Stellation">Weisstein, Eric W., [http://mathworld.wolfram.com/Stellation.html "«Stellation"»], ''[[MathWorld]]''.</span>

* [http://www.software3d.com/Stella.php Stella: Polyhedron Navigator] -&nbsp;— Програмне забезпечення для вивчення багатогранників і друку мереж для їхнього виготовлення. Включає рівномірні багатогранники, ззірчення, з'єднання, [[Правильногранний багатогранник|джонсонові тіла]] тощо.

* [http://members.ozemail.com.au/~llan/i59.html The Fifty-Nine Icosahedra -&nbsp;— Applet]