Критерій Ейзенштейна: відмінності між версіями

'''Крите́рій ЕйзенштейнаАйзенштайна''' — ознака [[незвідний многочлен|незвідності многочлена]] в [[поле (алгебра)|полі]] [[раціональне число|раціональних чисел]]. Названа на честь німецького математика [[Ґотхольд Ейзенштейн|Ґотхольда Ейзенштейна]].

* Многочлен <math>\ f(x)=x^{p-1}+x^{p-2}+...1</math> є незвідним в <math>\Q</math> . Справді, якщо він звідний, то звідним є і многочлен <math>f(x+1)=\frac {(x+1)^p - 1}{(x+1) - 1}=x^{p-1}+{C_p}^1x^{p-2}+...{C_p}^{p-1}</math>, а оскільки всі його коефіцієнти, окрім першого є [[біноміальний коефіцієнт|біноміальними]], тобто діляться на <math>p</math> <math>p|{C_p}^k=\frac{p(p-1)...(p-k+1)}{k!}</math>, а останній коефіцієнт <math>{C_p}^{p-1}=p</math> до того ж не ділиться на <math>p^2,</math> то згідно з критерієм ЕйзенштейнаАйзентштайна він є незвідним всупереч припущенню.

* Многочлен <math>\ x^3+4</math> над <math>\Q</math> є прикладом, що показує, що критерій ЕйзенштейнаАйзентштайна є тільки достатньою, але не необхідною умовою. Дійсно, єдиний простий дільник вільного члена це <math>p=2</math>, але 4 ділиться на <math>2^2</math>&nbsp;— тому критерій ЕйзенштейнаАйзентштайна тут не можна застосувати. З іншого боку, як многочлен 3 степеня без раціональних коренів, цей многочлен є незвідним.

* [http://planetmath.org/encyclopedia/EisensteinCriterion.html Критерій ЕйзенштейнаАйзентштайна] на сайті PlanetMath.