Теорема Кантора про перетини

Теорема Кантора про перетини — твердження у топології про те, що вкладена послідовність непорожніх компактних замкнутих множин має непорожній перетин. Теорема названа на честь Георга Кантора.

Твердження теореми

Нехай X є топологічним простором і підмножини $C_{n}\subset X$ є непорожніми замкнутими і компактними. Нехай ці підмножини утворюють спадну послідовність підмножин, тобто

$C_{0}\supset C_{1}\supset \cdots \supset C_{n}\supset C_{n+1}\supset \cdots .$

Тоді їх перетин є непорожньою множиною:

$\left(\bigcap _{n}C_{n}\right)\neq \emptyset .$

Іншими словами існує точка $x\in X$ яка належить всім цим підмножинам, тобто $x\in C_{n},$ для всіх цілих $n\geqslant 0.$

У випадку, наприклад, гаусдорфових просторів довільна компактна підмножина є замкнутою, тому у твердженні теореми вимогу замкнутості можна явно не вказувати.

Доведення

Припустимо, що $\bigcap C_{n}=\emptyset$. Позначимо також $U_{n}=C_{0}\setminus C_{n}$. Оскільки $\bigcup U_{n}=C_{0}\setminus \left(\bigcap C_{n}\right)$ і $\bigcap C_{n}=\emptyset$, то $\bigcup U_{n}=C_{0}$. Усі підмножини $C_{n}$ є замкнутими у X і тому також замкнутими у $C_{0}$ у індукованій топології. Тому $U_{n}$ є відкритими підмножинами $C_{0}$.

Оскільки $\bigcup U_{n}=C_{0},$ тобто $(U_{n})$ є відкритим покриттям і $C_{0}\subset S$ є компактною множиною, то існує скінченне підпокриття $\{U_{n_{1}},U_{n_{2}},\ldots ,U_{n_{m}}\}.$. Позначимо $M=\max _{1\leqslant i\leqslant m}{n_{i}}$. Тоді, оскільки $U_{1}\subset U_{2}\subset \cdots \subset U_{n}\subset U_{n+1}\cdots ,$ то $\bigcup U_{n_{i}}=U_{M}.$ Як наслідок $C_{0}=\bigcup U_{n_{i}}=U_{M}$. Але тоді $C_{M}=C_{0}\setminus U_{M}=\emptyset ,$ що суперечить припущенню у твердженні теореми. Тому $\bigcap C_{n}\neq \emptyset .$.

Див. також

• Компактний простір

Література

• Jonathan Lewin (2003), An Interactive Introduction to Mathematical Analysis, Cambridge University Press, ISBN 0-521-01718-1