Алгебричне рівняння: відмінності між версіями

'''Алгебраїчне рівня́ння''', також '''алгебричне рівняння'''  — [[рівняння]] виду вигляду

де <math>P</math> &nbsp;— [[многочлен]] від змінних <math>x_1, \ldots, x_n</math>. Ці змінні називають '''''невідомими'''''.

Впорядкований набір чисел <math>a_1, \ldots, a_n</math> задовольняє цьому рівнянню, якщо при заміні <math>x_1</math> на <math>a_1</math>, <math>x_2</math> на <math>a_2</math> і так далі отримується правильна числова рівність (наприклад, впорядкованаупорядкована трійка чисел <math>(3, 4, 5)</math> задовольняє рівнянню <math>x^2+y^2=z^2</math>, оскільки <math>3^2+4^2=5^2</math>). Число, що задовольняє алгебричне рівняння з одним невідомим, називають '''''коренем''''' цього рівняння. Множина всіх наборів чисел, що задовольняють дане рівняння, є множиною розв’язківрозв'язків цього рівняння. Два алгебричні рівняння, що мають одну й ту ж множину розв’язківрозв'язків, називаються рівносильними.

Степенем многочлена <math>P</math> називається степінь [[рівняння]] <math>P(x_1, \ldots, x_n) = 0.</math> Наприклад, <math>3x-5y+z=c</math> &nbsp;— рівняння першого степеня, <math>x^2+y^2=z^2</math> &nbsp;— другого степеня, а <math>x^4-3x^3+1=0</math> &nbsp;— четвертого степеня. Рівняння першого степеня називають також [[Лінійне рівняння|лінійними]]. Алгебричне [[рівняння]] з одним невідомим має скінченну кількість коренів, а множина розв’язківрозв'язків алгебричного рівняння з великоюбільшою кількістю невідомих може бути нескінченною множиною наборів чисел. Тому здебільшого розглядають не окремі алгебричні рівняння з ''<math>n</math>'' невідомими, а системи рівнянь і шукають набори чисел, які одночасно задовольняють всі рівняння цієї системи. Сукупність всіхусіх таких наборів утворює множину розв’язківрозв'язків системи. Наприклад, множина розв’язківрозв'язків системи рівнянь

: <math> \left \{ \begin{matrix} x^2 + y^2 = 10 & \\ x^2 - y^2 = 8 & \end{matrix} \right. </math>

Відомі формули для розв'язання алгебричних рівнянь 3-го степеня (''[[кубічне рівняння]]'') і 4-го степеня. Для алгебричних рівнянь 5-го і вищих степенів не існує загальної формули, яка б виражала корені через коефіцієнти рівняння за допомогою скінченного числа арифметичних операцій і добування коренів (довів [[Абель Нільс Генрік Абель|Н. Абель]], поч. [[19 століття|XIX століття]])<ref>{{УРЕ|1|Алгебричні рівняння}}</ref>.

У Стародавній [[Греція|Греції]] [[квадратне рівняння|квадратні рівняння]] розв'язували за допомогою геометричних побудов. Грецький [[математик]] [[Діофант Александрійський|Діофант]] розробив методи розв'язкуязування алгебричних рівнянь і систем таких рівнянь з багатьма невідомими в раціональних числах. Наприклад, він розв'язав ву раціональних числах рівняння <math>x^4-y^4+z^4=n^2,</math> систему рівнянь <math> \left \{ \begin{matrix} y^3 + x^2 = u^2 & \\ z^2 + x^2 = v^3 & \end{matrix} \right. </math> і т. дтощо. (див. [[Діофантові рівняння]]).

Деякі геометричні задачі: подвоєння [[куб]]а, трисекція [[кут]]а, побудова [[правильний семикутник|правильного семикутника]] (див. [[Класичні задачі давнини]]) —, зводяться до розв'язання кубічних рівнянь. Для їх розв'язкуязання необхідно було відшукати точки перетину конічних перетинів ([[еліпс]]ів, парабол і гіпербол). Користуючись геометричними методами, математики середньовічного Сходу досліджували розв'язки кубічних рівнянь. Проте їм не вдалося вивести загальну формулу для їх розв'язку. Першим великим відкриттям західноєвропейської математики стала отримана в [[XVI ст.століття|XVI столітті]] формула для розв'язкуязання [[кубічне рівняння|кубічного рівняння]]. Оскільки в той час від'ємні числа ще не отрималинабули поширення, довелося окремо розбирати такі типи рівнянь: <math>x^3+px=q,</math> <math>x^3+q=px</math> і т. дтощо. Італійський математик [[Сципіон дель Ферро|С. дель-Феро]] (1465—1526) розв'язав рівняння <math>x^3+px=q</math> і повідомив розв'язок своєму зятю ій учневі А.-М. Фіоре, який викликав на математичний турнір чудового математика-самоучкусамоука [[Нікколо Тарталья|Н. Тарталью]] (1499−1557). За кілька днів до турніру Тарталья знайшов загальний метод розв'язкуязування кубічних рівнянь і переміг, швидко розв'язавши всі запропоновані йому 30 завдань. Проте знайденазнайдену Тартальєю [[формула|формулу]] для розв'язанняязку [[однорідне рівняння|однорідного рівняння]] <math>x^3+px+q=0</math>

була опублікованаопублікував не нимвін, а італійськиміталійський ученимучений [[Кардано Джироламо Кардано|Дж. Кардано]] (1501—1576), який дізнався її від Тартальї. Тоді ж [[Лодовіко Феррарі|Л. Феррарі]] (1522—1565), учень [[Кардано]], знайшов розв'язок рівняння 4-го степеня.

Створення алгебричної символіки ій узагальнення поняття числа аж до комплексних чисел дозволили в XVII—XVIII &nbsp;ст. досліджувати загальні властивості алгебричних рівнянь вищих степенів, а також загальні властивості багаточленівмногочленів від однієї і кількох змінних.

Одною з найважливіших задач [[теорія|теорії]] алгебричних рівнянь ву XVII—XVIII &nbsp;ст. було відшукання формули для розв'язку рівняння 5-го степеня. Після безплідних пошуків багатьох поколінь алгебристів зусиллями французького вченого XVIII &nbsp;ст. [[Лагранж Жозеф-Луї Лагранж|Ж. Лагранжа]] (1736—1813), італійського вченого [[Паоло Руффіні|П. Руффіні]] (1765—1822) і норвезького математика [[Нільс ГенріхГенрік Абель|Н. Абеля]] наприкінці XVIII &nbsp;— на початку XIX &nbsp;ст. було доведено, що не існує формули, за допомогою якої можна виразити корені будь-якого рівняння 5-го степеня через його коефіцієнти, використовуючи лише арифметичні операції й операцію кореня. Ці дослідження були завершено роботами [[Еварист Галуа|Е. Галуа]], теорія якого дозволяє для будь-якого рівняння визначити, чи виражаються його корені в радикалах (див. [[Теорія Галуа]]). Ще до цього [[Карл Фрідріх ГаусГаусс|К. &nbsp;Ф. &nbsp;Гаус]] розв'язав проблемузадачу знаходження в квадратних радикалах коренів [[однорідне рівняння|однорідного рівняння]] <math>x^n-1=0</math>, до якого зводиться задача про побудовіпобудову за допомогою циркуля і лінійки правильного <math>n</math>-кутника. Зокрема, неможливо за допомогою цих інструментів побудувати правильний семикутник, дев'ятикутник і &nbsp;т. &nbsp;д. &nbsp;— така побудова можлива тоді, коли <math>n</math> &nbsp;— просте число видувигляду <math>2^{2^k} + 1</math> чи добуток різних простих чисел такого видувигляду.

Поряд з пошуком формул для розв'язкуязків конкретних рівнянь було досліджено питання про існування коренів алгебричного рівняння. У XVIII &nbsp;ст. французький [[філософ]] і математик [[Жан Лерон д'Аламбер|Ж. д'Аламбер]] довів, що будь-яке алгебричне рівняння ненульовоїненульового степеністепеня з комплексними коефіцієнтами має хоча б один комплексний корінь. У доведенні Д'Аламбера були пропуски, якуякі пізніше доповнивзаповнив Гаус. З цієї теореми випливало, що будь-який многочлен степеня <math>n</math> розкладається на <math>n</math> лінійних множників.

В наш час [[теорія систем]] алгебричних рівнянь перетворилася вна самостійну областьгалузь математики &nbsp;— [[Алгебрична геометрія|алгебричну геометрію]]. Вона вивчає [[Лінія|лінії]], [[Поверхня|поверхні]] та [[Многовид|многовидимноговид]]и вищих розмірностей, що задаються [[Система рівнянь|системами]] таких рівнянь.