|
#ПЕРЕНАПРАВЛЕННЯ [[Теорема Больцано — Вейєрштрасса]]
У математичному аналізі '''теоремою Больцано-Вейєрштрасса''' називають таке твердження:
Будь-яка обмежена послідовність дійсних чисел містить збіжну до дійсного числа підпослідовність.
Про узагальнення цієї теореми в топології. Нехай <math>(X,\Tau)</math> — [[топологічний простір]], <math>A</math> [[підмножина|- підмножина]] <math>X</math> Тоді:
* Якщо <math>A</math> [[компактний простір |компактна]], то для будь-якої [[послідовність (математика)|послідовності]] <math> \{x_n \}</math> з <math>A</math> [[гранична точка]] цієї послідовності також належить <math>A</math>.
* І навпаки, якщо для кожної послідовності з підмножини гранична точка належить множині, і окрім цього <math>(X,\Tau)</math> задовільняє [[друга аксіома зліченності|другу аксіому зліченності]], то <math>A</math> є компактною підмножиною.
Зокрема якщо <math>(X,\Tau)</math> задовільняє другу аксіому зліченності, то <math>A</math> буде компактною тоді і лише тоді коли для кожної послідовності з <math>A</math> гранична точка належить їй.
== Історія ==
Ця теорема доведена в 1817 році чеським математиком [[Бернард Больцано|Бернардом Больцано]] (1781-1848), пізніше була незалежно отримана [[Карл Вейєрштрасс|Карлом Вейєрштрассом]] (1815-1897).
== Література ==
* [http://matan.kpi.ua/public/files/bakun_vm2.pdf Вища математика – 2]. Навчальний посібник для студентів технічних напрямків підготовки / Укладач: {{nobr|В. В. Бакун}}. – К.: [[Національний технічний університет України «Київський політехнічний інститут імені Ігоря Сікорського»|НТУУ «КПІ»]], 2013. – 270 с.
[[Категорія:Теореми компактності]]
[[Категорія:Теореми в математичному аналізі|Больцано—Вейєрштрасса]]
| 