Теорема Фробеніуса (диференціальна геометрія): відмінності між версіями

[перевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування
Немає опису редагування
Рядок 56:
 
=== Крок індукції ===
Припустимо, що твердження є доведеним для всіх чисел менших ''p.'' Нехай <math>X_1, \ldots, X_p</math> є векторними полями, що в кожній точці деякого околу <math>U_1</math> точки <math>x \in M</math> утворюють базис розподілу <math>\Delta</math>. Згідно попереднього у деякому околі <math>x \in U_2 \subset U_1</math> можна підібрати координати так, щоб <math>\frac{\partial}{\partial x_1y_1} = X_1</math> і всі координати точки <math>x </math> були нульовими.
 
Розглянемо розподіл <math>\bar \Delta</math> який у точках <math>u \in U_2</math> заданий як <math>\bar \Delta_u = \{X_u \in \Delta_u : X_u x_1y_1 = 0\}.</math> Цей розподіл є розподілом класу <math>C^\infty</math> і розмірності ''p''-1 на <math>U_2</math> оскільки векторні поля <math>Y_i = X_i - (X_i x_1y_1)X_1, \ i \in 2,\ldots,n</math> утворюють його базис на <math>U_2</math>. Також якщо <math>Y, Z \in \bar \Delta, </math> то <math>[Y, Z]x_1y_1 = Y(Zx_1Zy_1) - Z(Yx_1Yy_1) = 0, </math> тож <math>\bar \Delta</math> є інволютивним.
 
Позначимо <math>V_0</math> — шар у <math>U_2</math> для якого <math>y_1 = 0.</math> Тоді у точках <math>v \in V_0</math> розподіл <math>\bar \Delta_v</math> є підмножиною дотичного простору <math>(V_0)_v</math> і з припущення індукції на деякому околі <math>V_1 \subset V_0</math> (що містить точку <math>x </math>) існує система координат <math>z_2,...,z_n</math> така, що <math>\frac{\partial}{\partial z_2},...,\frac{\partial}{\partial z_p}</math> утворюють базис <math>\bar \Delta</math> на <math>V_1.</math>
 
Нехай тепер <math>\pi : U_2 \to V_0</math> є відображенням, що переводить точку із координатами <math>(y_1, \ldots,y_n) </math> у точку із координатами <math>(0,y_2, \ldots,y_n) </math> і <math>U_3 = \pi^{-1}(V_1).</math> На <math>U_3</math> можна ввести функції <math>x_1 = y_1, x_2 = z_2 \circ \pi, \ldots, x_n = z_n \circ \pi.</math> У точці <math>x</math> дотичний вектор <math>\left (\frac{\partial}{\partial x_1} \right)_x</math> є рівним дотичному вектору <math>\left (\frac{\partial}{\partial y_1} \right)_x</math>, а дотичні вектори <math>\left ( \frac{\partial}{\partial x_2} \right )_x,...,\left ( \frac{\partial}{\partial x_n}\right )_x</math> утворюють базис дотичного простору до <math>V_0</math> у цій точці. Тому у деякому околі <math>x \in U \subset U_3</math> функції <math>(x_1, \ldots, x_n) </math> утворюють систему координат.
 
== Див. також ==