Теорема про поворот плоскої кривої: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 75:
=== Доведення ===
Теорема буде доведена, якщо в невеликому околі <math>[t_i',t_i'']</math> кожної точки <math>t_i</math> криву замінити регулярною кривою <math>\bar \gamma</math> без перетинів такою, що <math>\bar \gamma (t_i') = \gamma (t_i'), \ \bar \gamma' (t_i') = \gamma' (t_i')</math> і <math>\bar \gamma (t_i'') = \gamma (t_i''), \ \bar \gamma' (t_i'') = \gamma' (t_i'')</math> і до того ж для кутової функції <math>\varphi</math> кривої <math>\bar \gamma</math> також <math>\varphi(t_i'') - \varphi(t_i') = \varphi_{i-1}(t_i) - \varphi_{i-1}(t_i') + \alpha_i + \varphi_i(t_i'') - \varphi_i(t_i).</math>
Побудуємо такі криві для особливих точок для яких <math>\gamma'(t_{i}^-) \neq -\gamma'(t_{i}^+).</math> У точках у яких <math>\gamma'(t_{i}^-) = -\gamma'(t_{i}^+)</math> можна здійснити подібну побудову але там потрібно враховувати напрямок повороту.
Якщо <math>\gamma'(t_{i}^-) \neq -\gamma'(t_{i}^+)</math> то ці два дотичні вектори лежать в деякій відкритій півплощині. Із неперервності <math>\gamma'(t)</math> на інтервалах <math>[t_i,t_{i+1}]</math> і <math>[t_{i-1},t_i]</math> випливає, що можна знайти такі достатньо близькі до <math>t_i</math> числа <math>t_i' <t_i< t_i'',</math> що на проміжку <math>[t_i',t_i'']</math> всі вектори <math>\gamma'(t)</math> теж належатимуть цій відкритій півплощині (на інтервалі <math>[t_i',t_i)</math> значення <math>\gamma'(t)</math> є достатньо близькими до <math>\gamma'(t_{i}^-),</math> а на інтервалі <math>(t_i,t_i'']</math> є достатньо близькими до <math>\gamma'(t_{i}^+)</math>). Тоді кут між <math>\gamma'(t_{i}')</math> і <math>\gamma'(t_{i}^-)</math> із знаком залежно від напрямку є рівний <math>\varphi_{i-1}(t_i) - \varphi_{i-1}(t_i'),</math> а кут <math>\gamma'(t_{i}^+)</math> і <math>\gamma'(t_{i}'')</math> із знаком залежно від напрямку є рівний <math>\varphi_{i-1}(t_i'') - \varphi_{i-1}(t_i).</math> Відповідно кут між <math>\gamma'(t_{i}')</math> і <math>\gamma'(t_{i}'')</math> із знаком залежно від напрямку є рівний <math>\varphi_{i-1}(t_i) - \varphi_{i-1}(t_i') + \alpha_i + \varphi_i(t_i'') - \varphi_i(t_i).</math>
Позначимо тепер <math>p_0 = \gamma (t_i'),\ p_2 = \gamma(t_i'')</math> і проведемо через ці точки прямі у напрямках векторів <math>\gamma'(t_{i}')</math> і <math>\gamma'(t_{i}^+)</math>. Оскільки при належному виборі <math>t_i',t_i''</math> вектори <math>\gamma'(t_{i}')</math> і <math>\gamma'(t_{i}'')</math> будуть як завгодно близькі до <math>\gamma'(t_{i}^-)</math> і <math>\gamma'(t_{i}^+)</math> і прямі задані останніми перетинаються із кутами <math>|\alpha_i|, \ \pi - |\alpha_i|</math> то і прямі у напрямках векторів <math>\gamma'(t_{i}')</math> і <math>\gamma'(t_{i}^+)</math> для належного вибору <math>t_i',t_i''</math> перетинаються у деякій точці <math>p_1.</math> До того ж вектор із точки <math>p_0</math> у точку <math>p_1</math> має той же напрям, що й <math>\gamma'(t_{i}')</math>, а вектор із точки <math>p_1</math> у точку <math>p_2</math> має той же напрям, що й <math>\gamma'(t_{i}'')</math>.
Побудуємо тепер квадратичну криву Безьє задану точками <math>p_0, p_1, p_2.</math>
== Примітки ==
| |||