Теорема про поворот плоскої кривої: відмінності між версіями

Нехай <math>\gamma:[a,b] \rightarrow \R^2</math> є кусково неперервно диференційовною замкнутою простою регулярною на інтервалах диференційовності кривою параметризованою своєю довжиною. А саме існують точки <math>a = t_0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_{n-1} < t_n = b, </math> такі, що на кожному проміжку <math>[t_i,t_{i+1}]</math> крива є диференційовною і дотичні вектори мають одиничну довжину. Дотичні вектори <math>\gamma'(t_{i}^-)</math> і <math>\gamma'(t_{i}^+)</math> при цьому не є рівними і нехай <math>\alpha_i</math> позначає менший за модулем кут між <math>\gamma'(t_{i}^-)</math> і <math>\gamma'(t_{i}^+)</math> (цей кут може бути і від'ємним). На інтервалах диференційовності маємають зміст кутовакутові функціяфункції <math>\varphivarphi_i </math> і кути повороту <math>\varphivarphi_1(t_{i+1}) - \varphivarphi_i(t_1t_i) </math>.

Узагальнена теорема про поворот для кусково диференційовних функцій стверджує, що при таких позначеннях, якщо крива також є додатно орієнтованою то <math>\sum_{i = 0}^{n-1} \varphivarphi_i (t_{i+1}) - \varphivarphi_i (t_i) + \sum_{i = 0}^{n-1} \alpha_i = \pm 2\pi.</math>