Теорема про поворот плоскої кривої: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Теорема про поворот плоскої кривої''' — варіант теореми про суму кутів багатокутника у [[Диференціальна геометрія|диференціальній геометрії]]. Одне з доведень належить Хайнцу Хопфу<ref>Heinz Hopf: ''Über die Drehung der Tangenten und Sehnen ebener Kurven.'' Composito Math. (1935), Band 2, S. 50–62.</ref>, на честь якого ця теорема іноді називається.
Рядок 65 ⟶ 64:
За означенням <math>\Omega(t,0) = \psi \circ \alpha_0(t) </math> де <math>\alpha_0(t) </math> спершу пробігає відрізок, що сполучає точки <math>(a,a)</math> і <math>(a,b),</math> а потім відрізок, що сполучає точки <math>(a,b)</math> і <math>(b,b).</math> За означенням <math>\Omega(0,0) = \psi (a,a) = \gamma'(a),\ \Omega(1/2,0) = \psi (a,b) = - \gamma'(a) </math> . Також для <math>t \in (0,1/2) </math> за означенням <math>\alpha_0(t) = (a, 2t(b-a)) </math> і <math>\Omega(t,0) = \psi \circ (a, a + 2t(b-a)) = \frac{\gamma(2t(b-a)) - \gamma(a)}{|\gamma(2t(b-a)) - \gamma(a)|} </math>. Тобто <math>\Omega(t,0) </math> для <math>t \in (0,1/2) </math> є одиничним вектором який, якщо відкласти його від точки <math>p </math> направляється у сторону півплощини у якій знаходиться образ кривої <math>C </math>. Аналогічно для <math>t \in (1/2,1) </math> маємо, <math>\Omega(t,0) </math> є одиничним вектором який, якщо відкласти його від точки <math>p </math> направляється у сторону півплощини у якій знаходиться образ кривої <math>C </math>. На одиничному колі із початком координат <math>\Omega(t,0) </math> починає із значення <math>\gamma'(a)</math>, згодом для <math>t \in (0,1/2) </math> набуває значень в одній відкритій півплощині, для <math>(1/2, 0) </math> є рівним <math>-\gamma'(a)</math> після чого для <math>t \in (1/2,1) </math> набуває значень в іншій відкритій півплощині. Якщо <math>\Omega(t,0) = \gamma'(a) = (\cos \varphi, \sin \varphi ) </math> і визначити <math>\varphi(0) =\varphi </math> то із неперервності і однозначності кутових функцій на півплощині випливає, що для <math>t \in [0,1/2) </math> можна записати <math>\Omega(t,0) = (\cos \varphi(t), \sin \varphi(t) ) </math> де <math>\varphi(t) \in (\varphi, \varphi + \pi) </math> якщо напрямок від <math>\gamma'(a)</math> до <math>-\gamma'(a)</math> через площину що містить всі <math>\Omega(t,0) </math> для <math>t \in (0,1/2) </math> є додатній і <math>\varphi(t) \in (\varphi, \varphi - \pi) </math> в іншому випадку. Із неперервності випливає, що у першому випадку тоді <math>\varphi(1/2) = \varphi + \pi </math> і у другому випадку <math>\varphi(1/2) = \varphi - \pi. </math> Аналогічно для <math>t \in (1/2,1) </math> маємо <math>\varphi(t) \in (\varphi + \pi, \varphi + 2\pi) </math> у першому випадку і <math>\varphi(t) \in (\varphi - \pi, \varphi - 2\pi) </math> у другому. Знову ж із неперервності <math>\varphi(1) =\varphi + 2\pi </math> у першому випадку і <math>\varphi(1) =\varphi - 2\pi </math> у другому. Тому у першому випадку індекс повороту відображення <math>\Omega(t,0) </math> і відповідно індекс повороту кривої <math>\gamma</math> є рівним <math>\frac{\varphi(1) - \varphi(0)}{2\pi } = \frac{\varphi + 2\pi - \varphi}{2\pi } = 1, </math> а у другому випадку рівним <math>\frac{\varphi(1) - \varphi(0)}{2\pi } = \frac{\varphi - 2\pi - \varphi}{2\pi } = -1, </math> що завершує доведення.
== Узагальнення для кусково диференційовних функцій ==
Нехай <math>\gamma:[a,b] \rightarrow \R^2</math> є кусково неперервно диференційовною замкнутою простою регулярною на інтервалах диференційовності кривою параметризованою своєю довжиною. А саме існують точки <math>a = t_0 < t_1 < t_2 < \ldots < t_{n-1} < t_n = b, </math> такі, що на кожному проміжку <math>[t_i,t_{i+1}]</math> крива є диференційовною і дотичні вектори мають одиничну довжину. Дотичні вектори <math>\gamma'(t_{i}^-)</math> і <math>\gamma'(t_{i}^+)</math> при цьому не є рівними і нехай <math>\alpha_i</math> позначає менший за модулем кут між <math>\gamma'(t_{i}^-)</math> і <math>\gamma'(t_{i}^+)</math> (цей кут може бути і від'ємним). На інтервалах диференційовності має зміст кутова функція <math>\varphi </math> і кути повороту <math>\varphi(t_{i+1}) - \varphi(t_1) </math>.
Узагальнена теорема про поворот для кусково диференційовних функцій стверджує, що при таких позначеннях, якщо крива також є додатно орієнтованою то <math>\sum_{i = 0}^{n-1} \varphi (t_{i+1}) - \varphi (t_i) + \sum_{i = 0}^{n-1} \alpha_i = 2\pi.</math>
Тоді індекс повороту кривої є рівним <math>\pm 1</math> або еквівалентно повний поворот кривої є рівним <math>\pm 2\pi.</math>
== Примітки ==
| |||