Теорема про поворот плоскої кривої: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 20:
Нехай <math>f :[a,b] \rightarrow S^1</math> є неперервним відображенням на одиничне коло. Тоді існує '''кутова функція''' <math>\varphi:[a,b]\rightarrow \R</math> така, що <math>f(t) = (\cos \varphi(t),\sin \varphi(t)).</math> Для двох таких функцій <math>\varphi, \ \varphi'</math> завжди <math>\varphi = \varphi' + 2\pi n</math> для деякого <math>n \in \Z.</math> Відповідно <math>\varphi</math> однозначно визначається своїм значенням у будь-якій точці інтервалу <math>[a,b]</math>.
::Справді нехай <math>f(a) = (f_1(a),f_2(a))</math> і <math>\varphi(a)</math> — таке число, що <math>f_1(a) = \cos \varphi(a),\ f_2(a) = \sin \varphi(a).</math> Із базових властивостей [[Тригонометричні функції|тригонометричних функцій]] випливає, що на кожному інтервалі <math>[2\pi n, 2\pi(n+1)), \quad n \in \Z</math> можна вибрати єдине таке число <math>\varphi(a)</math> і різні можливі вибори відрізняються на <math>2\pi i, \quad i \in \Z.</math> Припустимо, що зроблено однозначний вибір <math>\varphi(a)</math>, тоді із неперервності можна однозначно вибрати функцію <math>\varphi</math>. Для цього спершу слід зауважити, що якщо образ <math>f ([a,b])</math> повністю належить якійсь із відкритих півплощин <math>x >0, \ x < 0,\ y>0,\ y<0</math> то функцію <math>\varphi</math> можна визначити однозначно. Справді припустимо, що <math>f ([a,b])</math> повністю належить півплощині <math> y>0\ </math>(інші випадки, як і випадки будь яких підплощин, що задаються прямими, які проходять через початок координат розглядаються аналогічно). Тоді:
:::<math>\varphi(a) = \arccos (f_1(a)) + 2\pi i \in (2\pi i, \pi + 2\pi i) </math>
::для деякого <math>i \in \Z</math> і можна задати <math>\varphi(t) = \arccos (f_1(t)) + 2\pi i. </math> Із неперервності [[Обернені тригонометричні функції|арксинуса]] і <math>f_1</math> випливає неперервність <math>\varphi</math>. Також такий вибір неперервної функції є єдиним можливим. Припустимо, що <math>\varphi'</math> є неперервною функцією, що задовольняє вказані умови і <math>\varphi'(a) = \varphi(a).</math>
Рядок 60:
\end{cases}</math>
Дане відображення є неперервним і <math>\psi(t,t) = \gamma'(t).</math> Саме індекс цього відображення і потрібно знайти. Цей індекс також рівний індексу відображення <math>\Omega = \psi \circ \bar \alpha : [0,1] \to S^1 </math> де відображення <math>\bar \alpha : [0,1] \to T </math> задається як <math>\bar \alpha(t) = (a+ (b-a)t,a+ (b-a)t). </math> Нехай тепер для <math>s \in [0,1]</math> дано точку <math>(t_1^s,t_2^s) = (a + s(b-a)/2, b - s(b - a)/2) \in T.</math> Ці точки лежать на [[Медіана трикутника|медіані]], що сполучає вершину <math>(a,b)</math> трикутника із центром протилежної сторони. Тепер розглянемо відображення <math>\alpha_s : [0,1] \to T, </math> що лінійно відображає відрізок <math>[0,1/2] </math> у відрізок, що сполучає точки <math>(a,a)</math> і <math>(t_1^s,t_2^s)</math> і лінійно відображає відрізок <math>[1/2,1] </math> у відрізок, що сполучає точки <math>(t_1^s,t_2^s)</math> і <math>(b,b).</math> Відображення <math>\alpha_s </math> є неперервним для всіх <math>s \in [0,1]</math> і сукупно ці відображення задають неперервне відображення <math>\alpha : [0,1]\times [0.1] \to T, </math> задане як <math>\alpha(t,s) = a_s(t). </math>
Із компактності замкнутих відрізків і неперервності <math>\Omega </math> випливає, що для будь якого <math>\varepsilon > 0</math> можна знайти таку послідовність <math>0 = s_0 < s_1 < s_2 < \ldots < s_{n-1} < s_n = 1 </math>, що <math>| \Omega(t,s_{i+1}) - \Omega(t,s_i)| < \varepsilon </math> для всіх <math>t \in [0,1]</math> і всіх <math>i \in 0,\ldots, n-1.</math> Зокрема для достатньо малих <math>\varepsilon</math> функції <math>\Omega(t,s_i) </math> і <math>\Omega(t,s_{i+1}) </math> (як функції від ''t'') не набувають для жодного ''t'' значень у протилежних точках кола. Із властивостей індексів при цьому індекси поворотів цих відображень є рівними. Тобто індекс повороту <math>\Omega(t,0) </math> є рівним індексу повороту <math>\Omega(t,s_1) </math> і далі індексу <math>\Omega(t,s_2) </math> і зрештою індексу <math>\Omega(t,1). </math> Оскільки останній є рівним індексу повороту <math>\gamma'(t)</math> (і відповідно індексу повороту кривої <math>\gamma</math>) то для індексу кривої <math>\gamma</math> достатньо знайти індекс відображення <math>\Omega(t,0). </math>
За означенням <math>\Omega(t,0) = \psi \circ \alpha_0(t) </math> де <math>\alpha_0(t) </math> спершу пробігає відрізок, що сполучає точки <math>(a,a)</math> і <math>(a,b),</math> а потім відрізок, що сполучає точки <math>(a,b)</math> і <math>(b,b).</math> За означенням <math>\Omega(0,0) = \psi (a,a) = \gamma'(a),\ \Omega(1/2,0) = \psi (a,b) = - \gamma'(a) </math> . Також для <math>t \in (0,1/2) </math> за означенням <math>\alpha_0(t) = (a, 2t(b-a)) </math> і <math>\Omega(t,0) = \psi \circ (a, a + 2t(b-a)) = \frac{\gamma(2t(b-a)) - \gamma(a)}{|\gamma(2t(b-a)) - \gamma(a)|} </math>. Тобто <math>\Omega(t,0) </math> для <math>t \in (0,1/2) </math> є одиничним вектором який, якщо відкласти його від точки <math>p </math> направляється у сторону півплощини у якій знаходиться образ кривої <math>C </math>. Аналогічно для <math>t \in (1/2,1) </math> маємо, <math>\Omega(t,0) </math> є одиничним вектором який, якщо відкласти його від точки <math>p </math> направляється у сторону півплощини у якій знаходиться образ кривої <math>C </math>. На одиничному колі із початком координат <math>\Omega(t,0) </math> починає із значення <math>\gamma'(a)</math>, згодом для <math>t \in (0,1/2) </math> набуває значень в одній відкритій півплощині, для <math>(1/2, 0) </math> є рівним <math>-\gamma'(a)</math> після чого для <math>t \in (1/2,1) </math> набуває значень в іншій відкритій півплощині. Якщо <math>\Omega(t,0) = \gamma'(a) = (\cos \varphi, \sin \varphi ) </math> і визначити <math>\varphi(0) =\varphi </math> то із неперервності і однозначності кутових функцій на півплощині випливає, що для <math>t \in [0,1/2) </math> можна записати <math>\Omega(t,0) = (\cos \varphi(t), \sin \varphi(t) ) </math> де <math>\varphi(t) \in (\varphi, \varphi + \pi) </math> якщо напрямок від <math>\gamma'(a)</math> до <math>-\gamma'(a)</math> через площину що містить всі <math>\Omega(t,0) </math> для <math>t \in (0,1/2) </math> є додатній і <math>\varphi(t) \in (\varphi, \varphi - \pi) </math> в іншому випадку. Із неперервності випливає, що у першому випадку тоді <math>\varphi(1/2) = \varphi + \pi </math> і у другому випадку <math>\varphi(1/2) = \varphi - \pi. </math> Аналогічно для <math>t \in (1/2,1) </math> маємо <math>\varphi(t) \in (\varphi + \pi, \varphi + 2\pi) </math> у першому випадку і <math>\varphi(t) \in (\varphi - \pi, \varphi - 2\pi) </math> у другому. Знову ж із неперервності <math>\varphi(1) =\varphi + 2\pi </math> у першому випадку і <math>\varphi(1) =\varphi - 2\pi </math> у другому. Тому у першому випадку індекс повороту відображення <math>\Omega(t,0) </math> і відповідно індекс повороту кривої <math>\gamma</math> є рівним <math>\frac{\varphi(1) - \varphi(0)}{2\pi } = \frac{\varphi + 2\pi - \varphi}{2\pi } = 1, </math> а у другому випадку рівним <math>\frac{\varphi(1) - \varphi(0)}{2\pi } = \frac{\varphi - 2\pi - \varphi}{2\pi } = -1, </math> що завершує доведення.
== Примітки ==
| |||