Многовид: відмінності між версіями

[перевірена версія][перевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування
Рядок 1:
'''Многови́д''' — це об'єкт, який '''локально''' має характер [[Евклідів простір|евклідового простору]] розмірності n.
 
<br />
 
== Визначення ==
Многовидом над алгебрично замкненим полем <math>k</math> є відділювана [[Схема (математика)|схема]] скінченного типу над <math>k</math>. Морфізмом многовиів називається їх морфізм як схем над полем <math>k</math>. Многовид <math>X</math>, який є афінною схемою, називається афінним многовидом. Будь-який многовид <math>X</math> має скінченне покриття <math>X=\bigcup U_{i},</math> де <math>U_{i}</math> - афінні многовиди. З цього слідує, що <math>X</math> має скінченну розмірність.
 
Якщо <math>X</math> незвідний, то усі <math>U_{i}</math> щільні у <math>X</math> та <math>\dim X=\dim U_{i}.</math> Вони є біраціонально ізоморфними, оскільки <math>U_{i}\cap U_{j}</math> відкритий й щільний як у <math>U_{i},</math> та й у <math>U_{j}.</math> Тому поля раціональних функцій <math>k(U_{i})</math> є ізоморфними між собою. Ці поля можна ототожнити. Отримане поле називається поем раціональних функцій на <math>X</math> й позначається <math>k(X).</math> Розмірність многовидумноговида <math>X</math> дорівнює степені трансцендентності поля <math>k(X).</math>
 
Топологія на <math>X</math>, яка задається структурою схеми, називається спектральною. Для многовидумноговида <math>X</math>, визначеного над полем комплексних чисел <math>\mathbb{C},</math> через <math>X(\mathbb{C})</math> позначається множина його замкнених точок. Розгляньмо [[Відкрита множина|відкриту]] у спектральній топології множину <math>U\subset X,</math> скінченне число функцій <math>f_{1},...,f_{m},</math> регулярних на <math>U,</math> та число <math>\varepsilon>0.</math> Через <math>V(f_{1},...,f_{m})</math> позначмо множину тих точок <math>x\in U(\mathbb{C}),</math> для яких
 
<math>|f_{i}(x)|<\varepsilon,\quad i=\overline{1,m}.</math>
Рядок 23 ⟶ 21:
 
== Властивості ==
Многовид має [[цілі числа|цілочислову]] [[розмірність]], яка вказує скількома параметрами (координатами) можна описати [[окіл]] довільної точки многовида. Ідея многовидумноговида полягає в тому, що геометрія гладкої поверхні «у малому», тобто в околу кожної її точки, нагадує геометрію Евклідового простору. Формально: ''n''-вимірний '''многовид'''&nbsp;— це [[Гаусдорфів простір|Гаусдорфів]] [[топологічний простір]] у якому будь-яка точка ''x'' має окіл [[гомеоморфізм|гомеоморфний]] відкритій ''n''-вимірній кулі:
 
: <math>f_x:U\to B_n(0,r)=\{x\in\mathbf{R}^n: ||x||<r\}, x\in U. </math>
Рядок 46 ⟶ 44:
== Додаткові структури на многовидах ==
 
Задання [[метричний тензор|метричного тензора]] <math>g_{ij}</math> дозволяє знаходити відстань між двома нескінченно близькими точками, а також інтегрувати ([[скалярне поле]]) по підмноговидах, наприклад вздовж кривих, що проходять всередині многовида, або [[інтегрування поза об'ємуємом многовида|поза об'ємуємом самого многовида]].
 
Інтегрувати [[векторне поле|векторні]] та [[тензорне поле|тензорні]] поля так просто, як скаляр, не можна&nbsp;— через [[комутативність|некомутативність]] [[паралельне перенесення векторів|паралельного переносу векторів]] (якщо тензор внутрішньої кривини ненульовий). Наприклад, ми не можемо точно обчислювати повну силу, що діє на протяжне тіло в [[Загальна теорія відносності|загальній теорії відносності]].
Рядок 52 ⟶ 50:
Якщо скаляр скрізь дорівнює одиниці, то ми можемо знаходити довжини кривих і <math>k</math>-мірні об'єми <math>k</math>-мірних підмноговидів (<math>k \le n</math>, де <math>n</math>&nbsp;— розмірність многовида). Особливий інтерес становлять [[Мінімальні многовиди|підмноговиди мінімального об'єму]], зокрема найкоротша лінія, що сполучає дві точки многовида ([[геодезична лінія]]).
 
В околі будь-якої точки многовида можна задати [[Майже декартові координати в точці многовида|майже декартові координати]] такі, що [[початок координат]] буде в цій точці, метричний тензор буде одиничним, і всі перші похідні метричного тензора (або, що еквівалентно, всі символи Крістофеля) дорівнюють нулю. Другі ж похідні можна зробити нульовими далеко не завжди, для цього необхідно (і достатньо), щоб [[тензор Рімана]] дорівнював нулю. Якщо [[Нульовий тензор Рімана|тензор Рімана тотожно дорівнює нулю]] в деякій зв'язній області многовида, то в цій області можна побудувати декартові координати (з метричним тензором що дорівнює одиничній матриці <math>g_{ij} = \delta_{ij}</math>), отже внутрішня геометрія такого многовидумноговида збігається з геометрією евклідового простору (хоча при погляді зверху цей многовид може бути, наприклад, циліндром).
 
Розгляд кривини многовида виявляється набагато простішим для [[гіперповерхня|гіперповерхонь]], коли многовид вкладений в евклідовий простір на одиницю більшої розмірності. Практично важливим випадком гіперповерхні є [[двовимірні многовиди]] в тривимірному просторі.<br />
 
== Див. також ==
 
* [[Ріманів многовид]]
* [[Замкнутий многовид]]