Незалежність (теорія ймовірностей): відмінності між версіями

Якщо замість двох є ціле сімейство (можливо нескінчене) сигма-алгебр, то для нього визначається попарна і спільна незалежність очевидним чином.

 

'''Визначення 5.''' Нехай дано сімейство випадкових величин <math>(X_i)_{i\in I}</math>, отже <math>X_i:\Omega \to \mathbb{R},\; \forall i\in I</math>. Тоді ці випадкові величини '''попарно незалежні''', якщо попарно незалежні [[сигма-алгебра|породжені ними сигма-алгебри]] <math>\{\sigma(X_i)\}_{i\in I}</math>. Випадкові величини '''незалежні у сокупності''', якщо такі породжені ними сигма-алгебри.

Визначення, дане вище, еквівалентно будь-якому іншому з наведених нижче. Дві випадкові величини <math>X,Y</math> незалежні тоді і лише тоді, коли:

* Для будь-яких <math>A, B\in \mathcal{B}(\mathbb{R})</math>,

:<math>\mathbb{P}(X \in A, Y \in B) = \mathbb{P}(X\in A) \cdot \mathbb{P}(Y \in B)</math>;

* Для будь-яких обмежених борелівських функцій <math>f,g:\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math>

:<math>\mathbb{E}\left[f(X) g(Y)\right] = \mathbb{E}\left[f(X)\right] \cdot \mathbb{E}\left[g(Y)\right]</math>;