Узагальнений власний вектор: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Рядок 205:
Вектор <math>\mathbf x_j </math>, обчислений за ({{EquationNote|2}}), це узагальнений в-вектор рангу ''j'', що відповідє в-значенню <math>\lambda</math>. Ланцюг являє собою лінійно незалежну множину векторів.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=194–195}}</ref>
== Канонічний базис ==
'''Означення:''' Множина з ''n'' лінійно незалежних узагальнених векторів утворена винятково жордановими ланцюгами це '''канонічний базис'''.
Отже, щойно ми визначили, що узагальнений в-вектор рангу ''m'' приналежить канонічному базису, з цього випливає, що ''m'' − 1 vectors <math> \mathbf x_{m-1}, \mathbf x_{m-2}, \ldots , \mathbf x_1, </math> які входять до жорданового ланцюга породженого <math> \mathbf x_m </math> також приналежать канонічному базису.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=196,197}}</ref>
Нехай <math> \lambda_i </math> буде в-значенням алгебричної кратності <math> \mu_i </math> матриці <math>A</math> розміру <math>n\times n.</math> Спочатку знайдімо [[ранг (лінійна алгебра)|ранги]] матриць <math> (A - \lambda_i I), (A - \lambda_i I)^2, \ldots , (A - \lambda_i I)^{m_i}. </math> Ціле число <math>m_i</math> визначається як перше ціле для якого <math> (A - \lambda_i I)^{m_i} </math> має ранг <math>n - \mu_i. </math>
Тепер визначимо
:<math> \rho_k = \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^{k-1} - \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^k \qquad (k = 1, 2, \ldots , m_i).</math>
Змінна <math> \rho_k </math> позначає число лінійно незалежних узагальнених в-векторів рангу ''k'', що відповідають в-значенню <math> \lambda_i, </math> які з'являться в канонічному базисі для<math>A</math>. Зауважте, що
:<math> \operatorname{rank}(A - \lambda_i I)^0 = \operatorname{rank}(I) = n </math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=197,198}}</ref>
== Примітки ==
| |||