Узагальнений власний вектор: відмінності між версіями

Не завжди існує повний набір з <math>n</math> [[Лінійно незалежні вектори|лінійно незалежних]] власних векторів <math>A,</math> які формують повний базис для <math>V</math>. Тобто, матриця <math>A</math> може бути [[діагоналізовна матриця|недіагоналізовною]].<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=310}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=118}}</ref> Це трапляється коли [[Власні вектори та власні числа#алгебрична кратність|алгебрична кратність]] хоча б одного [[власне значення|власного значення]] <math>\lambda_i</math> більша ніж його [[Власні вектори та власні числа#геометрична кратність|геометрична кратність]] ([[ядро матриці|ступінь виродженості]] матриці <math>(A-\lambda_i I)</math>, або вимірність її [[ядро матриці|нульового простору]]). У такому разі, <math>\lambda_i</math> називається [[дефективнадефектна матриця|дефективнимдефектним власним значенням]], а <math>A</math> називається [[дефективнадефектна матриця|дефективноюдефектною матрицею]].<ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=316}}</ref>

Узагальнений власний вектор <math>x_i</math>, що відповідає <math>\lambda_i</math>, разом із матрицею <math>(A-\lambda_i I)</math> породжує Жорданівжорданів ланцюг лінійно незалежних узагальнених власних векторів, які утворюють базис для [[інваріантний підпростір|інваріантного підпростору]] <math>V</math>.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|p=319}}</ref><ref>{{harvtxt|Bronson|1970|pp=194–195}}</ref><ref>{{harvtxt|Golub|Van Loan|1996|p=311}}</ref>

Використовуючи узагальнені власні вектори, множинамножину лінійно незалежних власних векторів <math>A</math> можна розширити, якщо необхідно, до повного базису <math>V</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=196}}</ref> Цей базис можна використати для побудови ''майже діагональної матриці'' <math>J</math> у [[Жорданова нормальна форма|жордановій нормальній формі]], [[Подібні матриці|подібну]] до <math>A</math>, що корисно для обчислення певних [[матрична функція|матричних функцій]] від <math>A</math>.<ref>{{harvtxt|Bronson|1970|p=189}}</ref> Матриця <math>J</math> також корисна для розв'язання [[Звичайні диференціальні рівняння|систем лінійних диференціальних рівнянь]] <math>\mathbf x' = A \mathbf x,</math> де <math>A</math> має бути діагоналізовною.<ref>{{harvtxt|Beauregard|Fraleigh|1973|pp=316–318}}</ref><ref>{{harvtxt|Nering|1970|p=118}}</ref>