Добуток Кронекера: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Swadim (обговорення | внесок) |
Swadim (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
Рядок 144:
{{main|добуток Хатрі-Рао}}
Даний варіант добутку визначений для матриц з однаковою блоковою структурою. Він передбачає, що операція кронекерівського добутку виконується поблоково, в межах однойменних матричних блоків за аналогією з поелементним [[добуток Адамара|добутком Адамара]], тільки при цьому в якості елементів задіяні блоки матриць, а для переноження блоків використовується добуток Кронекера.
=== Торцевий добуток ===
{{main|торцевий добуток}}
''Властивості мішаних добутків'':<br/>
<math>\mathbf{A} \otimes (\mathbf{B}\bull \mathbf{C}) = (\mathbf{A}\otimes \mathbf{B}) \bull \mathbf{C}</math><ref name=slyusar>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date= December 27, 1996|title=End products in matrices in radar applications. |url=http://slyusar.kiev.ua/en/IZV_1998_3.pdf|journal=Radioelectronics and Communications Systems.– 1998, Vol. 41; Number 3|pages=50–53}}</ref>, де <math>\bull</math> означає [[торцевий добуток]] <br/>
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{C} \otimes \mathbf{D}) = (\mathbf{A}\mathbf{C}) \bull (\mathbf{B} \mathbf{D})</math><ref name=slyusar2>{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=March 13, 1998|title=A Family of Face Products of Matrices and its Properties|url=http://slyusar.kiev.ua/FACE.pdf|journal=Cybernetics and Systems Analysis C/C of Kibernetika I Sistemnyi Analiz. 1999.|volume=35|issue=3|pages=379–384|doi=10.1007/BF02733426}}</ref><ref name=lecture>Vadym Slyusar. [https://doi.org/10.13140/RG.2.2.31620.76164/1 New Matrix Operations for DSP] (Lecture). April 1999. – DOI: 10.13140/RG.2.2.31620.76164/1</ref>,<br/>
За аналогією:<br/>
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S}) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}) \bull (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S})</math>,
<math>c^\textsf{T} \bull d^\textsf{T} = c^\textsf{T} \otimes d^\textsf{T} </math><ref name="DIPED">{{Cite journal|last=Slyusar|first=V. I.|date=1997-09-15|title=New operations of matrices product for applications of radars|url=http://slyusar.kiev.ua/DIPED_1997.pdf|journal=Proc. Direct and Inverse Problems of Electromagnetic and Acoustic Wave Theory (DIPED-97), Lviv.|pages=73–74}}</ref>, де <math>c</math> і <math>d</math> - вектори,<br/>
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(c \otimes d) = (\mathbf{A}c) \circ (\mathbf{B}d)</math><ref name=tensorsketch>Thomas D. Ahle, Jakob Bæk Tejs Knudsen. Almost Optimal Tensor Sketch. Published 2019. Mathematics, Computer Science, [https://www.semanticscholar.org/paper/Almost-Optimal-Tensor-Sketch-Ahle-Knudsen/40915be6e472f691762003117c778226cfc480f6 ArXiv]</ref>,<br/>
Аналогічно:
: <math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{B})(\mathbf{M}\mathbf{N}c \otimes \mathbf{Q}\mathbf{P}d) = (\mathbf{A}\mathbf{M}\mathbf{N}c) \circ (\mathbf{B}\mathbf{Q}\mathbf{P}d),</math>
<math>\mathcal F(C^{(1)}x \star C^{(2)}y) =(\mathcal F C^{(1)} \bull \mathcal F C^{(2)})(x \otimes y)= \mathcal F C^{(1)}x \circ \mathcal F C^{(2)}y </math>,<br/>
де <math>\star</math> означає векторну [[Згортка_(математичний_аналіз)|згортку]], а <math>\mathcal F</math> є матрицею дискретного перетворення Фур'є<ref name="ninh">{{cite conference
| title = Fast and scalable polynomial kernels via explicit feature maps
| last1 = Ninh
| first1 = Pham
| last2 = Rasmus
| first2 = Pagh
| date = 2013
| publisher = Association for Computing Machinery
| conference = SIGKDD international conference on Knowledge discovery and data mining
|doi = 10.1145/2487575.2487591}}
</ref>,
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{K} \ast \mathbf{T}) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}\mathbf{K}) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}\mathbf{T})</math><ref name=slyusar2 /><ref name=lecture />,
де <math>\ast</math> означає [[добуток Хатрі-Рао#Стовпцевий добуток Хатрі-Рао|стовпцевий добуток Хатрі-Рао]]<br/>
Окрім того:<br/>
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(c \otimes d ) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}c) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}d)</math>,
<math>(\mathbf{A} \bull \mathbf{L})(\mathbf{B} \otimes \mathbf{M}) . . . (\mathbf{C} \otimes \mathbf{S})(\mathbf{P}c \otimes \mathbf{Q}d ) = (\mathbf{A}\mathbf{B}...\mathbf{C}\mathbf{P}c) \circ (\mathbf{L}\mathbf{M}...\mathbf{S}\mathbf{Q}d)</math>, де <math>c</math> і <math>d</math> - вектори.
== Див. також ==
| |||