|
'''Пропорційними''' називаються дві взаємно залежні величини, якщо відношення їх значень залишається незмінним. Рівність між відношеннями двох чи декількох пар чисел або величин в [[Математика|математиці]] називається [[Пропорція (математика)|пропорцією]].
== Пряма пропорційність ==
[[Файл:Proportional variables.svg|thumb|300x300px|Змінна ''y'' є прямо пропорційною до змінної ''x''.]]
'''Пряма́ пропорці́йність''' — стале відношення двох змінних [[Величина|величин]]. При збільшенні (зменшенні) однієї величини в декілька разів у стільки ж разів збільшується (зменшується) друга величина. Такі величини називаються прямо пропорційними.
Нехай дано дві [[Змінна (математика)|змінні]] ''x'' та ''y, y'' є прямопропорційною до ''x''<ref name=":0">Weisstein, Eric W. "Directly Proportional." [http://mathworld.wolfram.com/DirectlyProportional.html ''MathWorld'' — A Wolfram Web Resource]</ref>, якщо існує відмінна від [[Нуль|нуля]] константа ''k'', така, що <blockquote><math>y = kx</math>.</blockquote>Співвідношення часто позначають використовуючи символи ∝ чи ~, наприклад<blockquote><math>y \propto x</math>,</blockquote>і стале відношення<blockquote><math>k = \frac{y}{x}</math></blockquote>називається коефіцієнтом пропорційності.
=== Приклади ===
# У випадку руху з постійною швидкістю пройдена відстань прямо пропорційна витраченому часу.
# Якщо купують однаковий товар за фіксованою ціною, вартість товару прямо пропорційна його кількості.
# Периметр квадрата з довжиною сторони ''а'' є прямо пропорційним довжині сторони.
=== Графік ===
Якщо ''y'' є прямо пропорційна до ''x'', тоді графік ''y'' як функції від ''x'' є [[Пряма лінія|прямою лінією]], що проходить через [[початок координат]] з нахилом, залежним від коефіцієнта пропорційності: вона відповідає лінійному росту.
== Обернена пропорційність ==
[[Файл:Inverse proportionality function plot.gif|thumb|300x300px|Обернена пропорційна функція {{nowrap|1=''y'' = {{sfrac|1|''x''}}}}.]]
'''Об́ернена пропорційність''' — це функційональна залежність, при якій збільшення незалежної величини (аргумента) призводить до пропорційного зменшення залежної величини (функції).
Дві змінні є обернено пропорційні, якщо кожна з них є прямо пропорційна до оберненої їй змінної. Нехай дано дві [[Змінна (математика)|змінні]] ''x'' та ''y, y'' є обернено пропорційною до ''x''<ref>Weisstein, Eric W. «Inversely Proportional.» [http://mathworld.wolfram.com/InverselyProportional.html ''MathWorld'' — A Wolfram Web Resource]</ref>, якщо існує відмінна від [[Нуль|нуля]] константа ''k'', така, що<blockquote><math>y = {k \over x}</math>.</blockquote>
=== Приклади ===
# Час подорожі є обернено пропорційним до швидкості, з якою відбувається подорож.
# Час потрібний для виконання роботи є (приблизно) обернено пропорційним до кількості людей, що виконують роботу.
=== Графік ===
Графіком функції <math>y = k/x</math>, <math>k \neq 0</math> в [[Декартова система координат|декартовій системі координат]] є рівностороння [[Гіпербола (математика)|гіпербола]] з дійсною піввіссю <math>\sqrt{2\left\vert k \right\vert}</math> (відстань від вершини до центру), з центром в [[Початок координат|початку координат]] та [[Асимптота|асимптотами]] — осями координат.
== Експоненційна та логарифмічна пропорційності ==
Змінна ''y'' є '''експоненційно пропорційною''' до змінної ''x'', якщо ''y'' є прямопропорційною до [[Показникова функція|експоненційної функції]] від ''x'', причому існують відмінні від нуля константи ''k'' та ''a'', такі що <blockquote><math>y = ka^x</math>.</blockquote>Змінна ''y'' є '''логарифмічно пропорційною''' до змінної ''x'', якщо ''y'' є прямопропорційною до [[Логарифм|логарифма]] від ''x'', причому існують відмінні від нуля константи ''k'' та ''a'', такі що<blockquote><math>y = k\log_{a}(x)</math> .</blockquote>
== Див. також ==
* [[Кореляція]]
* [[Евдокс Кнідський]]
* [[Золотий перетин]]
* [[Пропорційний шрифт]]
* [[Співвідношення]]
* {{нп|Правило трьох (математика)|Правило трьох||Rule of three (mathematics)}}
* [[Розмір вибірки]]
* [[Подібність (геометрія)|Подібність]]
=== Зростання ===
* {{нп|Лінійне зростання|||Linear growth}}
* [[Гіперболічне зростання]]
== Примітки ==
{{Примітки}}
== Джерела ==
* Ya.B. Zeldovich, [[Isaak Yaglom|I.M. Yaglom]]: ''Higher math for Beginners''. pp. [https://books.google.de/books?id=dUB8BwAAQBAJ&pg=PA35 34-35]
* Brian Burell: ''Merriam-Webster's Guide to Everyday Math: A Home and Business Reference''. Merriam-Webster, 1998, ISBN 9780877796213, pp. [https://books.google.de/books?id=XeaorGgYAXsC&pg=PA85 85-101]
* Lanius, Cynthia S.; Williams Susan E.: ''PROPORTIONALITY: A Unifying Theme for the Middle Grades.'' Mathematics Teaching in the Middle School 8.8 (2003), pp. 392-96 ([http://www.jstor.org/stable/41181344 JSTOR])
* Seeley, Cathy; Schielack Jane F.: ''A Look at the Development of Ratios, Rates, and Proportionality.'' Mathematics Teaching in the Middle School, 13.3, 2007, pp. 140-42 ([http://www.jstor.org/stable/41182513 JSTOR])
* «Справочник по математике для инженеров и учащихся ВТУЗОВ» / Бронштейн И. Н., Семендяев К. А. — М.: Наука, Гл. ред. физ.-мат. лит., 1986. — 544 с.
[[Категорія:Елементарна математика]]
| 