Послідовність: відмінності між версіями

[перевірена версія][неперевірена версія]
Вилучено вміст Додано вміст
Shynkar (обговорення | внесок)
Sergio9416 (обговорення | внесок)
Немає опису редагування
Рядок 54:
=== Нескінченно велика послідовність ===
[[Числова послідовність|Послідовність]] <math>\{x_n\}</math> називається '''нескінченно великою''', якщо для будь-якого додатнього числа A, знайдеться натуральне число N, що для n≥N, всі елементи <math>\{x_n\}</math> будуть задовольняти нерівність <math>|x_n|>A</math>
 
<br />
 
=== Розбиття ===
Із послідовністю пов'язане поняття розбиття. Розбиття - довільна (скінченна або нескінченна) послідовність
 
<math>\lambda=(\lambda_{1},\lambda_{2},...,\lambda_{r},...)</math>
 
цілих невід'ємних чисел, розташованих у порядку (несуворого) спадання, тобто
 
<math>\lambda_{1}\geq\lambda_{2}\geq...\geq\lambda_{r}\geq ...,</math>
 
й яка містить лише скінченне число ненульових членів. Можна не відрізняти послідовності, які відрізняються лише ланцюгом нулів у кінці. Наприклад, можна розглядати <math>(1,2),\,(1,2,0),\,(1,2,0,0,...)</math> як одне й те саме розбиття.
 
Ненульові члени розбиття називаються частинами розбиття <math>\lambda.</math> Число усіх частин називається його довжиною й позначається <math>\mathrm{card}(\lambda),</math> а сума усіх частин називається його вагою й позначається як <math>|\lambda|:
</math>
 
<math>|\lambda|=\lambda_{1}+\lambda_{2}+...</math>
 
Якщо <math>|\lambda|=n,</math> то <math>\lambda</math> - розбиття числа <math>n.</math> Множина усіх розбиттів числа <math>n</math> позначається <math>P_{n}.</math>
 
Можна використовувати позначення, яке вказує, скільки разів кожне число входить до даного розбиття як частина:
 
запис <math>\lambda(1^{m_{1}}2^{m_{2}}...r^{m_{r}}...)</math>значить, що у точності <math>m_{i}</math> частин розбиття <math>\lambda</math> дорівнюють <math>i.</math> Число
 
<math>m_{i}=m_{i}(\lambda)=\mathrm{card}\{j:\lambda_{j}=i\}</math>
 
називається кратністю числа <math>i</math> у розбитті <math>\lambda</math>.
 
Послідовність може визначатись на скінченній [[Підмножина|підмножині]] натуральних чисел, тоді вона називається ''скінченною''. Кількість членів послідовності називають довжиною послідовності.
 
Скінченна послідовність на відміну від нескінченної має скінченну довжину. Також для скінченних послідовностей використовується інше позначення: <math>\{x_i\}_{i=1}^n</math>. У цьому випадку i&nbsp;— [[лічильник]], а n&nbsp;— кількість елементів.
 
Нехай <math>L_{n}</math> - лексикографічне впорядкування множини <math>P_{n}</math> розбиттів числа <math>n.</math> <math>L_{n}</math> є підмножиною <math>P_{n}\times P_{n},</math> яка складається з таких пар <math>(\lambda,\mu),</math> що або <math>\lambda=\mu,</math> або перша не перетворювана на 0 різниця <math>\lambda_{i}-\mu_{i}</math> є додатною. Це лінійне впорядкування. Наприклаз, за <math>n=5</math> впорядкування <math>L_{n}</math> розташовує елементи <math>P_{5}</math> у послідовність
 
<math>(5),\quad (41),\quad (32),\quad (31^{2}),\quad (2^{2}1),\quad (21^{3}),\quad (1).</math>
 
Нехай даний цілочисельний вектор <math>a=(a_{1},...,a_{n})\in\mathbb{Z}^{n}.</math> Симетрична група <math>S_{n}</math> діє на <math>\mathbb{Z}^{n}</math> перестановками координат, і множина
 
<math>P_{n}=\{b\in\mathbb{Z}^{n}:\,b_{1}\geq b_{2}\geq...\geq b_{n}\}</math>
 
є фундаментальною областю для цієї дії, тобто <math>S_{n}</math>-орбіта кожного <math>a\in\mathbb{Z}^{n}</math> перетинає <math>P_{n}</math> у точці <math>a^{+}.</math> Таким чином, <math>a^{+}</math> отримується, якщо розташувати <math>a_{1},...,a_{n}</math> у порядку спадання. Для <math>a,b\in\mathbb{Z}^{n}</math> відношення <math>a\geq b</math> значить,як і вище, що
 
<math>a_{1}+...+a_{i}\geq b_{1}+...+b_{i}\quad (1\leq i\leq n).</math>
 
<math>\Box</math>Нехай <math>a\in\mathbb{Z}^{n},</math> тоді
 
<math>a\in P_{n}\Leftrightarrow a\geq wa\quad\forall wa\in S_{n}.</math>
 
Доказ. Нехай <math>a\in P_{n},</math> тобто <math>a_{1}\geq...\geq a_{n}.</math> Якщо <math>wa=b,</math> то <math>(b_{1},...,b_{n})</math> є перестановкою послідовності <math>(a_{1},...,a_{n})</math> та, значить,
 
<math>a_{1}+...+a_{i}\geq b_{1}+...+b_{i}\quad (1\leq i\leq n),</math>
 
тому <math>a\geq b.</math>
 
Навпаки, якщо <math>a\geq wa\,\,\,\forall w\in S_{n},</math> то
 
<math>(a_{1},...,a_{n})\geq (a_{1},...,a_{i-1},a_{i+1},a_{i},a_{i+2},...,a_{n})</math>за <math>1\leq i\leq n-1,</math> звідки слідує, що
 
<math>a_{i}+...+a_{i-1}+a_{i}\geq a_{1}+...a_{i-1}+a_{i+1},</math>
 
тобто <math>a_{i}\geq a_{i+1}.</math> Тому <math>a\in P_{n}.\quad\blacksquare </math>
 
Для кожної пари чисел <math>i,j</math> таких, що <math>1\leq i<j\leq n,</math> визначається відображення <math>R_{ij}:\mathbb{Z}^{n}\rightarrow\mathbb{R}^{n}</math>, яке задається формулою:
 
<math>R_{ij}(a)=(a_{1},...,a_{i}+1,...,a_{j}-1,...,a_{n}).</math>
 
Будь-який добуток виду <math>\prod_{i<j}R^{r_{ij}}_{ij}</math> називається підвищуючим оператором. Наприклад, нехай <math>a\in\mathbb{Z}^{n},</math> a <math>R</math> - підвищуючий оператор . Тоді <math>Ra\geq a.</math> Якщо вважати, що <math>R=R_{ij},</math> то це очевидно.
 
Та навпаки, нехай <math>a,b\in\mathbb{Z}^{n}</math> такі, що <math>a\leq b</math> та <math>a_{1}+...+a_{n}=b_{1}+...+b_{n}.</math> Тоді знайдеться підвищуючий оператор такий, що <math>b=Ra.</math> У цьому випадку можна узяти
 
<math>R=\prod^{n-1}_{k=1}R^{r_{k}}_{k,k+1},</math> де <math>r_{k}=\sum^{k}_{i=1}(b_{i}-a_{i})\geq0.</math>
<br />
 
== Див. також ==