Інтеграл Гауса: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [очікує на перевірку] |
Вилучено вміст Додано вміст
+без джерел, +доробити |
Немає опису редагування Мітки: перше редагування Перемкнуто з візуального редактора |
||
Рядок 1:
{{Перекладена стаття|en|Gaussian integral|22.03.2020|посилання=https://en.wikipedia.org/wiki/Gaussian_integral|частково=}}
[[Файл:E^(-x^2).svg|thumb|right|Графік ''f''(''x'') = ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> і площа між функцією та ''x''-віссю, що дорівнює {{math|{{sqrt|''π''}}}}.]]
'''Інтеграл Гауса''', також відомий як '''інтеграл Ейлера-Пуассона''' — це інтеграл [[функція Гауса|функції Гауса]] ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> над усією областю дійсних чисел. Названий на честь німецького математика [[Карл Фрідріх Гаус|Карла Фрідріха Гауса]]
: <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx = \sqrt{\pi}.</math>
[[Абрахам де Муавр]] першим відкрив цей тип інтегралів у 1733~р. Тоді як Гаусс опублікував точний інтеграл у 1809 р.<ref name="The Evolution of the Normal Distribution">{{cite web |url=https://www.maa.org/sites/default/files/pdf/upload_library/22/Allendoerfer/stahl96.pdf |title=The Evolution of the Normal Distribution |work=MAA.org |first=Saul|last=Stahl|date=April 2006|accessdate=May 25, 2018}}</ref> Інтеграл має широкий спектр застосувань. Наприклад, за допомогою простої заміни змінних, використовується для обчислення [[нормалізуючої константи]] [[нормальний розподіл|нормального розподілу]]. Цей же інтеграл з фіксованими межами тісно пов'язаний як з [[функція помилок|функцією помилок]] так і з [[кумулятивна функція|кумулятивною функцією]] [[нормальний розподіл|нормального розподілу]]. У фізиці цей тип інтеграла часто з'являється, наприклад, в [[квантова механіка|квантовій механіці], при знаходженні [[густина ймовірності|густини ймовірності]] [[основний стан|основного стану]] [[гармонічний осцилятор|гармонічного осцилятора]]. Цей інтеграл також використовується в означенні [[інтеграл вздовж траєкторій|інтеграла вздовж траєкторії]] для знаходження [[функція поширення|функції поширення]] гармонічного осцилятора,
а також у [[статистична механіка|статистичній механіці]]
для знаходження [[функція розбиття|функції розбиття]].
Хоча функцію помилок не можна представити [[елементарна функція|елементарні функції]],
як це можна довести за допомогою
[[алгоритму Ріша]],<ref>{{cite journal |first=G. W. |last=Cherry |title=Integration in Finite Terms with Special Functions: the Error Function |journal=Journal of Symbolic Computation |volume=1 |issue=3 |year=1985 |pages=283–302 |doi=10.1016/S0747-7171(85)80037-7 }}</ref> все ж інтеграл Гаусса можна обчислити аналітичними методами [[Числення багатьох змінних|аналізу функцій багатьох змінних]]. Тобто, [[невизначений інтеграл]]
:<math>\int e^{-x^2}\,dx,</math>
не інтегрується в елементарних функціях,
але [[визначений інтеграл]]
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx</math>
можна обчислити. Визначений інтеграл довільної [[функція Гаусса|функції Гаусса]] дорівнює
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}.</math>
==Обчислення==
===В полярних координатах===
Стандартний спосіб обчислення інтеграла Гаусса, що був запропонований Пуассоном, базується на використанні наступної властивості:<ref name="york.ac.uk">{{cite web |title=The Probability Integral |url=https://www.york.ac.uk/depts/maths/histstat/normal_history.pdf }}</ref> базується на використанні наступної властивості:
:<math>\left(\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx\right)^2 = \int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx \int_{-\infty}^{\infty} e^{-y^2}\,dy = \int_{-\infty}^{\infty} \int_{-\infty}^{\infty} e^{-(x^2+y^2)}\, dx\,dy. </math>
Розглянемо функцію <math>e^{-(x^2 + y^2)} = e^{-r^{2}}</math> у просторі <math>\mathbb{R}^2</math>, та обчислимо інтеграл від неї двома способами.:
# З однієї сторони, як [[подвійний інтеграл]] в [[декартова система координат|декатровій системі координат]], він дорівнює квадрат інтеграла Гаусса:
#: <math>\left(\int e^{-x^2}\,dx\right)^2;</math>
# З іншої сторони, за допомогою [[методу знаходження об'єму тіла обертання]] (випадок подвійного інтеграла у [[полярні координати|полярних координатах]]), цей інтеграл дорівнює <math>\pi</math>
З цих двох обчислень отримаємо шукане значення для інтеграла Гаусса, хоча при цьому слід подбати про відповідні невласні інтеграли:
:<math>\begin{align}
\iint_{\mathbf{R}^2} e^{-(x^2+y^2)}dx\,dy
&= \int_0^{2\pi} \int_0^{\infty} e^{-r^2}r\,dr\,d\theta\\[6pt]
&= 2\pi \int_0^\infty re^{-r^2}\,dr\\[6pt]
&= 2\pi \int_{-\infty}^0 \tfrac{1}{2} e^s\,ds && s = -r^2\\[6pt]
&= \pi \int_{-\infty}^0 e^s\,ds \\[6pt]
&= \pi (e^0 - e^{-\infty}) \\[6pt]
&=\pi,
\end{align}</math>
де множник ''r''-[[якобіан]], який з'являється при переході до полярних координат у подвійному інтегралі (''r'' ''dr'' ''dθ'' - стандартна міра на площині записана в полярних координатах , і інтегрування включає заміну ''s'' = −''r''<sup>2</sup>, а тому ''ds'' = −2''r'' ''dr''.
Таким чином,
: <math>\left ( \int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx \right )^2=\pi,</math>
so
: <math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx=\sqrt{\pi}</math>.
====Повне доведення====
Для обґрунтування невласних подвійних інтегралів та прирівнювання двох співвідношень, розпочнемо з апроксимуючої функції:
:<math>I(a)=\int_{-a}^a e^{-x^2}dx.</math>
Якби інтеграл
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx</math>
був би [[абсолютна збіжність|абсолютно збіжним]], то ми б отримали [[головне значення інтеграла за Коші]],тобто границя
:<math>\lim_{a\to\infty} I(a) </math>
співпадала б з інтегралом
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx.</math>
Щоб побачити це врахуємо, що
:<math>\int_{-\infty}^\infty |e^{-x^2}|\, dx < \int_{-\infty}^{-1} -x e^{-x^2}\, dx + \int_{-1}^1 e^{-x^2}\, dx+ \int_{1}^{\infty} x e^{-x^2}\, dx<\infty.</math>
Таким чином, для обчислення інтеграла
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\,dx</math>
потрібно знайти границю
:<math>\lim_{a\to\infty} I(a)</math>.
Підносячи <math>I(a)</math> до квадрату, отримаємо
:<math>\begin{align}
I^{2}(a) & = \left ( \int_{-a}^a e^{-x^2}\, dx \right ) \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right ) \\[6pt]
& = \int_{-a}^a \left ( \int_{-a}^a e^{-y^2}\, dy \right )\,e^{-x^2}\, dx \\[6pt]
& = \int_{-a}^a \int_{-a}^a e^{-(x^2+y^2)}\,dy\,dx.
\end{align}</math>
Використовуючи [[теорема Фубіні|теорему Фубіні]], вищевказаний подвійний інтеграл можна розглядати як поверхневий інтеграл
: <math>\iint_{[-a, a] \times [-a, a]} e^{-(x^2+y^2)}\,d(x,y),</math>
взятий над квадратом з вершинами {(−''a'', ''a''), (''a'', ''a''), (''a'', −''a''), (−''a'', −''a'')} на [[декартова система координат|площині]]''xy''.
Оскільки, для всіх дійсних чисел, експоненціальна функція більша за 0, то звідси випливає,
що інтеграл, взятий над [[вписане коло |вписаним кругом]],
повинен бути меншим за <math>I(a)^2</math>, і аналогічно інтеграл, взятий над [[опиане коло|описаним кругом]],
повинен бути більшим ніж <math>I(a)^2</math>. Інтеграли над двома кругами легко обчислити, перейшовши від декартової системи координат
до [[полярна система координат|полярної системи координат]]:
: <math>
\begin{align}
x & = r \cos \theta \\
y & = r \sin\theta
\end{align}
</math>
:<math>
\mathbf J(r, \theta) =
\begin{bmatrix}
\dfrac{\partial x}{\partial r} & \dfrac{\partial x}{\partial\theta}\\[1em]
\dfrac{\partial y}{\partial r} & \dfrac{\partial y}{\partial\theta} \end{bmatrix}
= \begin{bmatrix}
\cos\theta& - r\sin \theta \\
\sin\theta& r\cos \theta
\end{bmatrix}
</math>
: <math>
d(x,y) = |J(r, \theta)|d(r,\theta) = r\, d(r,\theta).
</math>
:<math>\int_0^{2\pi}\int_0^a re^{-r^2}\,dr\,d\theta < I^2(a) < \int_0^{2\pi}\int_0^{a\sqrt{2}} re^{-r^2}\,dr\,d\theta.</math>
(Див. [[Полярні координати з декартових координат]] щодо відповідних перетворень.)
Після інтегрування отримуємо
:<math>\pi (1-e^{-a^2}) < I^2(a) < \pi (1 - e^{-2a^2}). </math>
За [[стискна теорема|теоремою про двох поліцейських]], отримаємо значення інтеграла Гаусса:
:<math>\int_{-\infty}^\infty e^{-x^2}\, dx = \sqrt{\pi}.</math>
===У декартових координатах===
Інша техніка, яка сходить до Лапласа (1812),<ref name="york.ac.uk" /> , полягає в наступному. Покладемо
: <math>\begin{align}
y & = xs \\
dy & = x\,ds.
\end{align}</math>
Оскільки границі відносно ''s'' при''y'' → ±∞ , залежать від знаку ''x'', то для спрощення обчислень використовуємо той факт, що ''e''<sup>−''x''<sup>2</sup></sup> є [[парна функція|парною функцією]] і, отже, інтеграл на множині всіх дійсних чисел удвічі більший ніж інтеграл від нуля до нескінченності:
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2}\,dx = 2\int_{0}^{\infty} e^{-x^2}\,dx.</math>
Таким чином, при ''x'' ≥ 0, для змінних ''y'' and ''s'' маємо однакові границі. Тобто,
:<math>\begin{align}
I^2 &= 4 \int_0^\infty \int_0^\infty e^{-(x^2 + y^2)} dy\,dx \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-(x^2 + y^2)} \, dy \right) \, dx \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2(1+s^2)} x\,ds \right) \, dx \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left( \int_0^\infty e^{-x^2(1 + s^2)} x \, dx \right) \, ds \\[6pt]
&= 4 \int_0^\infty \left[ \frac{1}{-2(1+s^2)} e^{-x^2(1+s^2)} \right]_{x=0}^{x=\infty} \, ds \\[6pt]
&= 4 \left (\frac{1}{2} \int_0^\infty \frac{ds}{1+s^2} \right ) \\[6pt]
&= 2 \Big [ \arctan s \Big ]_0^\infty \\[6pt]
&= \pi.
\end{align}</math>
Отже, як і очікувалося, <math>I = \sqrt{\pi}</math>.
==Зв'язок з гамма-функцією==
Підінтегральна функція - це [[парна функція]], тому
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-x^2} dx = 2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx</math>
Таким чином, цей інтеграл після заміни змінної <math>x=\sqrt{t}</math> перетворюється на інтеграл Ейлера:
:<math>2 \int_0^\infty e^{-x^2} dx=2\int_0^\infty \frac{1}{2}\ e^{-t} \ t^{-\frac{1}{2}} dt = \Gamma\left(\frac{1}{2}\right) = \sqrt{\pi}</math>
де <math> \Gamma(z)=\int_{0}^{\infty} t^{z-1} e^{-t} dt </math> [[гамма-функція]].Це показує, чому [[факторіал]] напівцілого числа є раціональним, домножиним на <math>\sqrt \pi</math>. У загальному випадку,
:<math>\int_0^\infty x^n e^{-ax^b} dx = \frac{\Gamma\left((n+1)/b\right)}{ba^{(n+1)/b}}, </math>
який можна отримати виконавши заміну <math>t=a x^b</math> в підінтегральній функції гамма-функції:
:<math>\Gamma(z) = a^z b \int_0^{\infty} x^{bz-1} {\rm e}^{-a x^b} {\rm d}x</math>.
==Узагальнення==
===Інтеграл функції Гаусса===
{{Main|Інтеграл функції Гаусса}}
Результатом обчислення інтеграла довільної [[функція Гаусса|функції Гаусса]] є
:<math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{-a(x+b)^2}\,dx= \sqrt{\frac{\pi}{a}}.</math>
Альтернативною формою є
:<math>\int_{-\infty}^{\infty}e^{- a x^2 + b x + c}\,dx=\sqrt{\frac{\pi}{a}}\,e^{\frac{b^2}{4a}+c}.</math>
Ця форма корисна для обчислення математичних сподівань деяких неперервних розподілів,
пов'язаних із нормальним розподілом, наприклад, для [[логнормальний розподіл|логнормального розподілу]].
===''n''-мірне та функціональне узагальнення===
{{main|багатовимірний нормальний розподіл}}
Припустимо, ''A'' - симетрична, додатньо визначена (отже, має обернену) матриця {{math|''n'' × ''n''}} яка є оберненою до [[коваріаційна матриця|коваріаційної матриці]]. Тому,
:<math>\int_{-\infty}^\infty \exp{\left(-\frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\int_{-\infty}^\infty \exp{\left(-\frac 1 2 x^{T} A x \right)} \, d^nx=\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} =\sqrt{\frac{1}{\det (A / 2\pi)}} =\sqrt{\det (2 \pi A^{-1})}</math>
де інтеграл розуміється над '''R'''<sup>''n''</sup>. Цей факт застосовується при дослідженні [[багатовимірний нормальний розподіл|багатовимірного нормального розподілу]]. Також
:<math>\int x_{k_1}\cdots x_{k_{2N}} \, \exp{\left( -\frac{1}{2} \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} \, d^nx =\sqrt{\frac{(2\pi)^n}{\det A}} \, \frac{1}{2^N N!} \, \sum_{\sigma \in S_{2N}}(A^{-1})_{k_{\sigma(1)}k_{\sigma(2)}} \cdots (A^{-1})_{k_{\sigma(2N-1)}k_{\sigma(2N)}}</math>
де σ - [[перестановка]] множин {1, ..., 2''N''}, а додатковий коефіцієнт у правій частині -
це сума за всіма комбінаторними парами множини {1, ..., 2''N''} з ''N'' копій матриці ''A''<sup>−1</sup>.
Крім того,<ref name="Central identity explanation">{{cite web |title=Reference for Multidimensional Gaussian Integral |date=March 30, 2012 |work=[[Stack Exchange]] |url=https://math.stackexchange.com/q/126227 }}</ref>
:<math>\int f(\vec x) \exp{\left( - \frac 1 2 \sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j \right)} d^nx=\sqrt{(2\pi)^n\over \det A} \, \left. \exp{\left({1\over 2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}(A^{-1})_{ij}{\partial \over \partial x_i}{\partial \over \partial x_j}\right)}f(\vec{x})\right|_{\vec{x}=0}</math>
для деякої [[аналітична функція|аналітичної функції]] ''f'', за умови,
що вона задовольняє деяким відповідним обмеженням щодо свого зростання та деяким іншим технічним критеріям.
(Для деяких функцій вона працює, наприклад, для поліномів. А для деяких - ні.)
Піднесення до степеня диференціальним оператором розуміється в сенсі [[степеневий ряд|степеневих рядів]].
Хоча функціональні інтеграли не мають чіткого означення (або навіть їх неможливо строго обчислити в більшості випадків),
проте ми можемо визначити функціональний інтеграл Гаусса аналогічно скінченновимірному випадку.
Але проблема все ж залишається, оскільки <math>(2\pi)^\infty</math> є нескінченністю,
а також [[функціональний детермінант]] буде нескінченним у загальному випадку. Проте це можна обійти, якщо розглянути відношення:
:<math>\frac{\int f(x_1)\cdots f(x_{2N}) \exp\left[{-\iint \frac{1}{2}A(x_{2N+1},x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}}\right] \mathcal{D}f}{\int \exp\left[{-\iint \frac{1}{2} A(x_{2N+1}, x_{2N+2}) f(x_{2N+1}) f(x_{2N+2}) d^dx_{2N+1} d^dx_{2N+2}}\right] \mathcal{D}f} =\frac{1}{2^N N!}\sum_{\sigma \in S_{2N}}A^{-1}(x_{\sigma(1)},x_{\sigma(2)})\cdots A^{-1}(x_{\sigma(2N-1)},x_{\sigma(2N)}).</math>
В позначеннях ДеВіта це співвідношення виглядає аналогічно скінченновимірному випадку.
===''n''- мірний з лінійним членом===
Якщо ''A'' знову є симметричною, додатньо визначеною матрицею, тоді (при умові, що всі вектори є вектор-стовпцями):
:<math>\int e^{-\frac{1}{2}\sum\limits_{i,j=1}^{n}A_{ij} x_i x_j+\sum\limits_{i=1}^{n}B_i x_i} d^nx=\int e^{-\frac{1}{2}\vec{x}^T \mathbf{A} \vec{x}+\vec{B}^T \vec{x}} d^nx= \sqrt{ \frac{(2\pi)^n}{\det{A}} }e^{\frac{1}{2}\vec{B}^{T}\mathbf{A}^{-1}\vec{B}}.</math>
===Інтеграли подібної форми===
:<math>\int_0^\infty x^{2n} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \sqrt{\pi}\frac{a^{2n+1} (2n-1)!!}{2^{n+1}}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{2n+1} e^{-\frac{x^2}{a^2}}\,dx = \frac{n!}{2} a^{2n+2}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{2n}e^{-ax^2}\,dx = \frac{(2n-1)!!}{a^n 2^{n+1}} \sqrt{\frac{\pi}{a}}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{2n+1}e^{-ax^2}\,dx = \frac{n!}{2a^{n+1}}</math>
:<math>\int_0^\infty x^{n}e^{-ax^2}\,dx = \frac{\Gamma(\frac{n+1}{2})}{2a^{\frac{n+1}{2}}}</math>
Де <math>n</math> - натуральне число, <math>!!</math> - [[подвійний факторіал]].
Простий спосіб їх отримання --- це [[диференціювання під знаком інтеграла]]:
:<math>\begin{align}
\int_{-\infty}^\infty x^{2n} e^{-\alpha x^2}\,dx &= \left(-1\right)^n\int_{-\infty}^\infty \frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} e^{-\alpha x^2}\,dx = \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n} \int_{-\infty}^\infty e^{-\alpha x^2}\,dx\\[6pt]
&= \sqrt{\pi} \left(-1\right)^n\frac{\partial^n}{\partial \alpha^n}\alpha^{-\frac{1}{2}} = \sqrt{\frac{\pi}{\alpha}}\frac{(2n-1)!!}{\left(2\alpha\right)^n}
\end{align}</math>
Також можна використовувати інтегрувати частинами та знайти відповідне [[рекурентне співвідношення]].
===Поліноми вищих порядів===
Використання лінійної заміни базису показує, що інтеграл експоненти, в степені якої однорідний многочлен від ''n'' - змінних, може залежати тільки від <math>SL(n)</math> - інваріантів многочлена. Одним з таких інваріантів є [[дискримінант]],
нулі якого позначають особливості інтеграла. Проте інтеграл також може залежати від других інваріантів.
Експоненту, в степені якої другі парні многочлени, можна чисельно обчислити за допомогою рядів.
Вони можуть бути інтерпритовані як [[формальные обчислення]], коли немає збіжності.
Наприклад, обчислення інтеграла від експоненти, в степені якої поліном четвертого порядку, має вигляд:
: <math>\int_{-\infty}^{\infty} e^{a x^4+b x^3+c x^2+d x+f}\,dx = \frac{1}{2} e^f \sum_{\begin{smallmatrix}n,m,p=0 \\ n+p=0 \mod 2\end{smallmatrix}}^{\infty} \frac{b^n}{n!} \frac{c^m}{m!} \frac{d^p}{p!} \frac{\Gamma \left (\frac{3n+2m+p+1}{4} \right)}{(-a)^{\frac{3n+2m+p+1}4}}.</math>
Вимога до того, щоб''n'' + ''p'' = 0 та те, що остача від ділення дорівнює 2 (mod 2) полягає в тому, що інтеграл від −∞ до 0 дає множник
(−1)<sup>''n''+''p''</sup>/2, а інтеграл від 0 до +∞ дає множник 1/2 кожного разу.
Ці інтеграли з'являються в таких областях, як [[квантова теорія поля]].
==Див. також==
{{Portal|Mathematics|Physics}}
* [[Перелік інтегралів функцій Гаусса]]
* [[Загальні інтеграли в теорії квантових полів]]
* [[Нормальний розподіл]]
* [[Таблиця інтегралів експоненціальних функцій]]
* [[Функція помилок]]
* [[Інтеграл Березіна]]
== Примітки ==
{{reflist}}
{{Математика-доробити}}
| |||