Відмінності між версіями «Нерівність Єнсена»

Ніяких змін в розмірі ,  7 місяців тому
м
нема опису редагування
м
 
 
== Дискретний випадок ==
Для [[дійсні числа|дійсної]] [[опукла функція|опуклої функції]] φ, та чисел ''x<sub>1</sub>, x<sub>2</sub>,…,x<sub>n</sub>'' з її області визначення та [[додатнє число|додатніхдодатних чисел]] ''a<sub>i</sub>'', справджується:
 
: <math>\varphi\left(\frac{\sum a_i x_i}{\sum a_i}\right) \le \frac{\sum a_i \varphi (x_i)}{\sum a_i};</math>
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>,&nbsp;…,&nbsp;''x''<sub>''n''</sub>.
 
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно з припущенням індукції твердження справедливе для ''n''&nbsp;=&nbsp;2. Припустимо, що воно справедливе для певного даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n''&nbsp;+&nbsp;1. Принаймні одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнімдодатним, припустимо, що це (без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]:
 
: <math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math>