Нерівність Єнсена: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
→Дивись також: + {{Ізольована стаття}} за допомогою AWB |
Додано імовірнісне формулювання і доведення для дискретного випадку. Інші незначні зміни. |
||
Рядок 1:
'''Нерівність Йєнсена''' — зв'язує [[визначений інтеграл]] [[опукла функція|опуклої функції]] та
== Дискретний випадок ==
Рядок 11:
:<math>\varphi\left(\frac{\sum x_i}{n}\right) \le \frac{\sum \varphi (x_i)}{n}.</math>
Позначивши <math>\lambda_i=\frac{a_i}{\sum^n_{i=1}a_i}</math> отримаємо еквівалентне формулювання:
За допомогою нерівності Йєнсена можна довести:▼
<math>f\left(\sum^n_{i=1}\lambda_ix_i\right)\leqslant \sum^n_{i=1}\lambda_if(x_i),</math>
де:
<math>\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1,</math>
▲За допомогою нерівності Йєнсена в даному вигляді можна довести:
* [[Нерівність Коші]],
* [[Нерівності про середнє]].
== Імовірнісне формулювання ==
Нехай <math>(\Omega,\mathcal{F},\mathbb{P})</math> — [[простір імовірностей]], і <math>X\colon\Omega \to \mathbb{R}</math> — визначена на ньому випадкова величина.
Нехай також <math>\varphi\colon\mathbb{R} \to \mathbb{R}</math> — інтегровна [[опукла функція]].
Тоді
:<math>\varphi(\mathbb{E}[X]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)]</math>,
Де <math>\mathbb{E}[\cdot]</math> - [[математичне очікування]].
Більш загально теорему можна сформулювати для умовного математичного очікування.
Нехай додатково маємо <math>\mathcal{G}\subset \mathcal{F}</math> - [[Сигма-алгебра|під-σ-алгебра]] [[Випадкова подія|подій]]. Тоді
:<math>\varphi(\mathbb{E}[X|\mathcal{G}]) \leqslant \mathbb{E}[\varphi(X)|\mathcal{G}]</math>,
де <math>\mathbb{E}[\cdot|\mathcal{G}]</math> позначає [[умовне математичне очікування]] відносно σ-алгебри <math>\mathcal{G}</math>.
== Доведення ==
===Дискретний випадок===
Якщо ''λ''<sub>1</sub> і ''λ''<sub>2</sub> - два довільні додатні дійсні числа, такі що: ''λ''<sub>1</sub> + ''λ''<sub>2</sub> = 1 тоді враховуючи [[опукла функція|опуклість]] <math>\scriptstyle\varphi</math> маємо
:<math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)\text{ for any }x_1,\,x_2.</math>
Цю нерівність можна узагальнити: якщо ''λ''<sub>1</sub>, ''λ''<sub>2</sub>, ..., ''λ''<sub>''n''</sub> є додатніми дійсними числами, такими що ''λ''<sub>1</sub> + ... + ''λ''<sub>''n''</sub> = 1, тоді
:<math>\varphi(\lambda_1 x_1+\lambda_2 x_2+\cdots+\lambda_n x_n)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+\lambda_2\,\varphi(x_2)+\cdots+\lambda_n\,\varphi(x_n),</math>
для будь-яких ''x''<sub>1</sub>, ..., ''x''<sub>''n''</sub>.
Дискретний випадок нерівності Єнсена може бути доведений [[математична індукція|методом математичної індукції]]. Згідно припущення індукції твердження справедливе для ''n'' = 2</sub>. Припустимо воно справедливе для певногго даного ''n'' і потрібно довести нерівність для ''n'' + 1. Принаймі одне ''λ''<sub>''i''</sub> є строго додатнім, припустимо(без втрати загальності) ''λ''<sub>1</sub>. За означенням [[опукла функція|опуклості]]:
:<math>\varphi\left(\sum_{i=1}^{n+1}\lambda_i x_i\right)= \varphi\left(\lambda_1 x_1+(1-\lambda_1)\sum_{i=2}^{n+1} \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\leq \lambda_1\,\varphi(x_1)+(1-\lambda_1) \varphi\left(\sum_{i=2}^{n+1}\left( \frac{\lambda_i}{1-\lambda_1} x_i\right)\right).</math>
Оскільки <math>\scriptstyle \sum_{i=2}^{n+1} \lambda_i/(1-\lambda_1)\, =\,1</math>, до другого доданку правої сторони останньої формули можна застосувати припущення [[математична індукція|індукції]], після чого отримуємо бажаний результат.
==Замітки==
<references/>
==Дивись також==
*[[Нерівність Гельдера]]
*[[Нерівність Мінковського]]
*[[Опукла функція]]
== Джерела ==
* {{cite book|
title=Неравенства|
author=Э. Беккенбах, Р. Беллман|
year=1965|
publisher=Мир|
city=Москва|
}}
* {{cite book|
title=Курс дифференциального и интегрального исчисления|
author=Г.М. Фихтенгольц|
year=1969|
publisher=Наука|
city=Москва|
}}
{{math-stub}}
[[Категорія:Нерівності]]
[[cs:Jensenova nerovnost]]
Рядок 37 ⟶ 104:
[[vi:Bất đẳng thức Jensen]]
[[zh:延森不等式]]
| |||