Ізометрія (математика): відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Olvin (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
Немає опису редагування |
||
Рядок 7:
У [[Евклідів простір|евклідовому]] (або [[псевдоевклідів простір|псевдоевклідовому]]) просторі ізометрія автоматично зберігає також кути, тобто, зберігаються всі [[Скалярний добуток|скалярні добутки]].
<br />
== Визначення ==
[[Файл:Chirality with hands.svg|міні|Хіральність α-[[Амінокислоти|амінокислот]]]]
Рух перетворення простору в себе, за якого зберігається відстань між відповідними точками (умова 1) й зберігаються орієнтації просторових фігур (умова 2). Рух у просторі є обертанням навколо осі, або паралельне перенесення, або гвинтовий рух, тобто обертання навколо декотрої осі з наступним паралельним перенесенням уздовж цієї осі. Якщо за перетворення простору в себе виконується лише перша умова, то це перетворення називається ортогональним. Наприклад, перетворення симетріх площини, за кого змінюється орієнтація фігури ([[хіральність]] у хемії<ref>{{Cite book|title=Г.О.Сіренко, О.В.Кузишин, Н.Е.Шеленко - Чому хемія, а не хімія?|last=|first=|year=|publisher=|location=|pages=|language=|isbn=}}</ref>).
Початкові координати точки <math>A=\begin{pmatrix}x_{A}\\ y_{A}\\ z_{A}\end{pmatrix},</math> перетворення до нових координат відбувається за лінійного перетворення:
<math>\begin{pmatrix}x_{A'}'\\ y_{A'}'\\ z_{A'}'\end{pmatrix}=U\begin{pmatrix}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{pmatrix},</math>
які можна представити квадратною матрицею з елементами <math>\{a_{ik}\}:</math>
<math>\begin{pmatrix}a_{11}&a_{12}&a_{13}\\ a_{21}&a_{22}&a_{23}\\ a_{31}&a_{32}&a_{33}\end{pmatrix}\begin{pmatrix}x_{A}\\y_{A}\\z_{A}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}a_{11}x_{A}+a_{12}y_{A}+a_{13}z_{A}\\ a_{21}x_{A}+a_{22}y_{A}+a_{23}z_{A}\\ a_{31}x_{A}+a_{32}y_{A}+a_{33}z_{A}\end{pmatrix}=\begin{pmatrix}x_{A'}'\\ y_{A'}'\\ z_{A'}'\end{pmatrix}.</math>
Ця матриця називається матрицею перетворення. Коефіцієнти <math>\{a_{ik}\}</math> задовільняють умові (див. [[Символ Кронекера|Дельта Кронекера]]):
<math>a_{1i}a_{1k}+a_{2i}a_{2k}+a_{3i}a_{3k}=\delta_{ij}=\begin{cases}1,\text{якщо}\,i=k,
\\ 0,\text{якщо}\,i\neq k, \end{cases}</math>
та визначник, <math>\Delta=a_{11}a_{22}a_{33}+a_{12}a_{23}a_{31}+a_{13}a_{21}a_{32}-a_{13}a_{22}a_{31}-a_{12}a_{21}a_{33}a_{11}a_{23}a_{32},</math> дорівнює +1. У ортогональних перетвореннях можлива рівність <math>\Delta=-1,</math> що відрізняє їх від руху.
На площині виділяють два роди руху:
# Рух першого роду, який не виводить з площини й не змінює орієнтації фігур (паралельне перенесення або обертання).
# Рух другого роду, який виводить з площини (переготання площини у просторі) й змінює орієнтацію фігури (симетрія відносно прямої з наступним перенесенням або обертанням).
В разі повороту на кут <math>\varphi</math> по годинковій стрілці навколо осі <math>z</math> матриця перетворення має вигляд:
<math>U=\begin{pmatrix}\cos\varphi&\sin\varphi&0\\-\sin\varphi&\cos\varphi&0\\0&0&1\end{pmatrix}.</math>
Ця матриця є частковим випадком матриці перетворення координат, елементи якої виражені через кути Ейлера <math>\varphi,\theta,\psi.</math> Для наведеної матриці <math>\theta=0,\psi=0.</math>
== Види ізометрії в евклідовому просторі==
| |||