Теорема Гріна: відмінності між версіями

: <math>\int\limits_{C_1} P(x,y)\,dx = -\int\limits_{-C_1} P(x,y)\,dx = -\int\limits_{a}^{b} P(x,y_1(x))\,dx \quad (2)</math>

: <math>\int\limits_{C_3} P(x,y)\,dx = \int\limits_{a}^{b} P(x,y_2(x))\,dx \quad (3)</math>

 

Криволінійні інтеграли по <math>C_2</math> і <math>C_4</math> дорівнюватимуть нулю, оскільки <math>x = \operatorname{const}</math>:

Розглядаючи двовимірне векторне поле, теорема Гріна рівнозначна двовимірному випадку [[формула Остроградського|формули Остроградського]]:

: <math>\iint_D\left(\nabla\cdot\mathbf{F}\right)dA=\oint_C \mathbf{F} \cdot \mathbf{\hat n} \, ds,</math>

 

Що побачити це, розглянемо одиничну нормаль <math>\mathbf{\hat n}</math> у правій частині рівності. Оскільки в теоремі Гріна <math>d\mathbf{r} = (dx, dy)</math> це вектор напрямлений вздовж дотичної до кривої, і крива ''C'' додатно орієнтована (тобто проти годинникової стрілки) крива вздовж межі, зовнішня нормаль це вектор напрямлений 90° праворуч від цього; можна обрати <math>(dy, -dx)</math>. Цей вектор завдовжки <math>\sqrt{dx^2 + dy^2} = ds.</math> Тому <math>(dy, -dx) = \mathbf{\hat n}\,ds.</math>