Вікіпедія

Теорема Каратеодорі про ядро: відмінності між версіями

Інтерактивний перегляд історії
[перевірена версія][перевірена версія]
← Попереднє редагуванняНаступне редагування →
Вилучено вміст Додано вміст
ВізуальнийВікірозмітка
м Заміна застарілого математичного синтаксису відповідно до mw:Extension:Math/Roadmap
Рядок 2:
 
== Твердження теореми ==
Нехай <math>f_n</math> — послідовність функцій, що є голоморфними однолистими у [[Одиничний круг|одиничному крузі]] <math>\Delta = z \in \CComplex,\ |z|<1</math> і також <math>f_n(0) = 0</math> і <math>\R \ni f'_n(0) > 0.</math> Позначимо <math>U_n = f_n(\Delta)</math> — [[Образ відображення|образи]] одиничного круга при дії цих функцій. Нехай <math>V_n</math> позначає [[Зв'язаний простір|зв'язну компоненту]], що містить 0 [[Внутрішність|внутрішності]] перетину <math>\cap_{i = n}^\infty U_n.</math> '''Ядром послідовності областей''' <math>U_n</math> називається [[Об'єднання множин|об'єднання]] усіх <math>V_n</math> або точка <math>\{0\},</math> якщо це об'єднання є [[Порожня множина|порожньою множиною]]. Еквівалентно ядром називається найбільша область така, що кожна її [[Замкнута множина|замкнута підмножина]] є також підмножиною кожної <math>U_n</math> починаючи з деякого ''n''. За означенням послідовність областей <math>U_n</math> збігається до свого ядра <math>U,</math> якщо <math>U</math> також є ядром будь-якої підпослідовності.
 
Теорема Каратеодорі стверджує, що послідовність <math>f_n</math> збігається [[Рівномірна збіжність|рівномірно]] на [[Компактний простір|компактах]] до функції ''f'', якщо і тільки якщо послідовність множин <math>U_n</math> збігається до свого ядра і це ядро не є рівним всій [[Комплексна площина|комплексній площині]]. Якщо ядро є рівним <math>\{0\}</math> то функція є константою рівною 0. В іншому випадку ядро ''U'' є зв'язаною відритою множиною, ''f'' є однолистою функцією і <math>U = f(\Delta).</math> Окрім того [[Обернена функція|обернені функції]] <math>f_n^{-1}</math> збігаються до функції <math>f^{-1}</math> рівномірно на компактних підмножинах області <math>U.</math>
Отримано з https://uk.wikipedia.org/wiki/Теорема_Каратеодорі_про_ядро