Гомотопія: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
вікіфікація |
|||
Рядок 1:
'''Гомотопія''' — в [[математика|математиці]] поняття [[алгебрична топологія|алгебричної топології]], що формалізує поняття [[неперервність|неперервної]] деформації одного об'єкта в інший. За допомогою гомотопії визначаються [[гомотопічні групи]], що є важливими інваріантами в алгебричній топології.
== Формальне визначення ==
Рядок 16 ⟶ 17:
* '''Гомотопічна еквівалентність''' топологічних просторів <math>X</math> і <math>Y</math> — пара неперервних відображень <math>f\colon X\to Y</math> і <math>g\colon Y\to X</math> така, що <math>f\circ g\sim\operatorname{id}_Y</math> і <math>g\circ f\sim\operatorname{id}_X</math>, тут <math>\sim</math> позначає ''гомотопічну еквівалентність відображень''. В цьому випадку говорять, що <math>X</math> і <math>Y</math> '''гомотопно еквівалентні''', або <math>X</math> з <math>Y</math> мають один '''гомотопний тип'''.
<br />
== Гомотопічна група ==
Гомотопічна група простору <math>\Psi\,\, \pi_{n}(\Psi,\psi_{0})</math> є групою гомотопічних класів неперервних відображень <math>f:S^{n}\rightarrow \Psi,</math> переводячи відзначену точку сфери у точку <math>\psi_{0},</math> із декотрою операцією. Сферу <math> S^{n}</math> можна неперервно й бієктивно відобразити у <math> I^{n},</math> де <math> I=[0,1].</math> Таким чином, гомотопічну групу можна визначити як групу гомотопічних класів неперервних відображень <math> g:I^{n}\rightarrow \Psi,</math> які переводять границю у відзначену точку <math> g(\partial I^{n})=\psi_{0}.</math> Операцію таких відображень можна визначити наступним чином:
<math>(g_{1}*g_{2})(t_{1},...,t_{n})=\begin{cases}g_{1}(2t_{1},t_{2},...,t_{n});&t_{1} \in [0; 0,5], \\ g_{2}(2t_{1}-1,t_{2},...,t_{n});&t_{1} \in [0,5; 1],\end{cases}</math>
== Властивості ==
Рядок 29 ⟶ 39:
* Якщо <math>\ f, f'\colon X\to Y,g\colon Y\to B,h\colon A\to X</math> — неперервні відображення, і <math>H\colon X \times I \to Y</math> — гомотопія між <math>f</math> і <math>f'</math>, то <math>g\circ H \circ (h \times I)</math> є гомотопією між <math>g\circ f \circ h </math> і <math>g\circ f' \circ h </math>.
<br />
== Приклади ==
* Якщо <math>Y = \R^m</math>, то функції <math>f</math> і <math>g</math> є завжди є гомотопними. Гомотопія визначається: <math>H(x,t) = f(x) + t\left[g(x) - f(x)\right].</math>
* Множини <math>X = [0, 1], \; Y = (0, 1)</math> є еквівалентними гомотопічно, але не гомеоморфними.
* Одиничне коло <math>\mathcal S^1</math> гомотопно еквівалентне простору <math>\mathbb R^2 \setminus \{0\}</math>.
*<math>[M,N]_{pt}\cong \lim_{\rightarrow}[N_{k,f},M_{f}]_{pt},</math> де <math>N_{k,f}</math> - апроксимуючі скінченні моделі CW-комплесу <math>N.</math> Тут ми маємо відображення <math>[N_{k,f},M_{f}]_{pt}\rightarrow [N,M_{f}]_{pt}\cong [N,M_{f}]_{pt}\,\,\forall k.</math> Отримуємо бієкцію <math>\varphi:\lim_{\rightarrow}[N_{k,f},M_{f}]_{pt}\rightarrow [N,M_{f}].</math>
* Нехай <math>U,G</math> - гомотопічні простори із відзначеною точкою, де <math>G </math> - скінченне й у ньому виконується <math>T_{0}.</math> Нехай відображення <math>f,g:U\rightarrow G</math> є неперервними та <math>\forall \,u\in U</math> виконується <math>f(x)\in \overline{g(x)}.</math> Тоді вони є гомотопними. Дійсно, можна побудувати гомотопію <math>H:U\times I\rightarrow G</math> із наступними властивостями:
<math>H(u,0)=f(x)</math>
<math>H(u,t)=v(u), t\in (0,1].</math>
Щоб показати неперервність відображеження <math>H,</math> потрібно показати, що <math>H^{-1}(\bar{p})</math> є замкненим для будь-якої точки <math>p\in f(U)\cup v(U).</math> Якщо <math>v(u)\in\bar{p}</math> , то й <math>f(u)\in\bar{p}.</math> Це дає <math>v^{-1}(\bar{p})\times[0,1]\subseteq f^{-1}(\bar{p})\times\{0\}\cup v^{-1}(\bar{p})\times(0,1].</math> Тоді <math>H^{-1}(\bar{p})=f^{-1}(\bar{p})\times\{0\}\cup v^{-1}(\bar{p})\times (0,1]=f^{-1}(\bar{p})\times\{0\}\cup v^{-1}(\bar{p})\times[0,1].</math> А відтак він є замкненим як об'єднання замкнених множин.
== Література ==
| |||