Відмінності між версіями «Область цілісності»

нема опису редагування
'''Область цілісності''' &nbsp;— поняття [[абстрактна алгебра|абстрактної алгебри]]: [[асоціативність|асоціативне]] [[комутативність|комутативне]] [[кільце (алгебра)|кільце]] з [[одиниця|одиницею]], в якому <math>0&ne;\not=1</math> і добуток двох ненульових елементів не рівний нулю. Умова <math>0&ne;\not=1</math> виключає з розгляду тривіальне кільце <math>\{0\}</math>.
 
Еквівалентне визначення: область цілісності&nbsp;— це асоціативне комутативне кільце, в якому нульовий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>\{0\}</math> є [[простий ідеал|простим]].
 
== Приклади ==
* Кільце [[многочлен]]ів з коефіцієнтами з деякого цілісного кільця також є цілісним. Наприклад, цілісними будуть кільце <math>\Z[x]</math> многочленів однієї змінної з цілочисловими коефіцієнтами і кільце <math>\R[x,y]</math> многочленів двох змінних з дійсними коефіцієнтами.
* Множина дійсних чисел виду <math>a+b\sqrt{2}</math> є підкільцем поля <math>\R</math>, і, відповідно, областю цілісності. Те ж саме можна сказати про [[множина|множину]] [[комплексні числа|комплексних чисел]] виду <math>a+bi</math>, де <math>a</math> і <math>b</math> цілі.
* Нехай <math>U</math> — [[зв'язність|зв'язна]] [[відкрита множина|відкрита]] підмножина [[комплексна площина|комплексної площини]] <math>\Complex</math>. Тоді кільце <math>H(U)</math> всіх [[голоморфна функція|голоморфних функцій]] <math>f:\colon U\rightarrow\Complex</math> буде цілісним. Те ж саме вірно для будь-якого кільця аналітичних функцій, визначених на зв'язній підмножині аналітичного [[многовид]]у.
* Якщо <math>K</math>&nbsp;— комутативне кільце, а <math>I</math>&nbsp;— ідеал в <math>K</math>, то [[фактор-кільце]] <math>K/I</math> цілісне тоді і тільки тоді, коли <math>I</math> — простий ідеал.
* Кільце [[p-адичні числа|p-адичних]] цілих чисел.
*[[Факторкільце]] <math>\Z/m\Z</math> де ''m'' є [[Складене число|складеним числом]] не є областю цілісності. Дійсно, вибравши розклад числа <math>m = xy</math> (де <math>x</math> і <math>y</math> не є рівними <math>1</math> чи <math>m</math>). Тоді <math>x \not\equiv 0 \bmod{m}</math> і <math>y \not\equiv 0 \bmod{m}</math>, але <math>xy \equiv 0 \bmod{m}</math>.
*Коли ціле число <math>n</math> є квадратом цілого числа тобто <math>n = m^2</math>, кільце <math>\Z[x]/(x^2 - n)</math> не є областю цілісності. У цьому випадку <math>x^2 - n = (x - m)(x + m)</math> у <math>\Z[x]</math>і образи многочленів <math>x - m,\ x + m</math> у факторкільці є не рівними нулю, а їх добуток буде рівним нулю.
*Кільце матриць розмірності ''<math>n''\times × ''n''</math> над довільним ненульовим кільцем для ''<math>n'' ≥\geq 2</math> не є областю цілісності.
*Кільце неперервних функції на одиничному інтервалі не є областю цілісності. Наприклад функції
::<math> f(x) = \begin{cases} 1-2x & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 0 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases} \qquad g(x) = \begin{cases} 0 & x \in \left [0, \tfrac{1}{2} \right ] \\ 2x-1 & x \in \left [\tfrac{1}{2}, 1 \right ] \end{cases}</math>
:не є всюди рівними нулю, натомість їх добуток <math>fg</math> є нульовою функцією.
* Тензорний добуток <math>\Complex \otimes_{\R} \Complex</math> не є областю цілісності. У цьому кільці існують два [[Ідемпотентний елемент|ідемпотенти]] <math>e_1 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) - \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> і <math>e_2 = \tfrac{1}{2}(1 \otimes 1) + \tfrac{1}{2}(i \otimes i)</math> добуток яких <math>e_1e_2 = 0</math>.
 
== Подільність, прості незвідні елементи ==
Подільність [[транзитивність|транзитивна]]: якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>b</math> ділить <math>c</math>, то <math>a</math> ділить <math>c</math>. Якщо <math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>c</math>, то <math>a</math> ділить також їх суму <math>b+c</math> і різниця <math>b-c</math>.
 
Для кільця <math>K</math> з одиницею елементи <math>a\in K</math>, які ділять <math>1</math>, називаються ''[[оборотний елемент|оборотними]]'' або ''дільниками одиниці''.
Елементи а<math>a</math> і <math>b</math> називаються ''асоційованими'', якщо а<math>a</math> ділить <math>b</math> і <math>b</math> ділить а<math>a</math>. а<math>a</math> і <math>b</math> асоційовані тоді і тільки тоді, коли <math>a=b*e</math>, де <math>e</math> — оборотний елемент.
<math>a=b*e</math>, де e — оборотний елемент.
 
Ненульовий елемент <math>q</math>, що не є оборотним називається ''незвідним'', якщо його не можна розкласти в добуток двох елементів, що не є оборотними.
* Якщо <math>A</math> — область цілісності, то кільце [[многочлен]]ів і кільце [[формальний степеневий ряд|формальних степеневих рядів]] над <math>A</math> також будуть областями цілісності.
* Якщо <math>A</math> — комутативне кільце з одиницею і <math>I</math> — деякий [[Ідеал (алгебра)|ідеал]] <math>A</math>, то кільце <math>A/I</math> є областю цілісності тоді і тільки тоді, коли ідеал <math>I</math> є [[простий ідеал|простим]].
*У області цілісності можна застосувати правило скорочення: якщо {{nowrap|''<math>a'' ≠ \not=0}}</math>, то з рівності {{nowrap|''<math>ab'' {{=}} ''ac''}}</math> випливає {{nowrap|''<math>b'' {{=}} ''c''}}</math>. Навпаки, якщо для кожного елемента {{nowrap|''<math>a'' ≠ \not=0}}</math> рівності {{nowrap|''<math>ab'' {{=}} ''ac''}}</math> випливає {{nowrap|''<math>b'' {{=}} ''c''}}</math> то комутативне кільце є областю цілісності.
* Кільце буде областю цілісності тоді і тільки тоді, коли його [[спектр кільця|спектр]] є незвідним топологічним простором.
* Прямий добуток кілець ніколи не є областю цілісності, оскільки одиниця першого кільця, помножена на одиницю другого кільця, дасть 0.
* [[Характеристика (алгебра)|Характеристика]] області цілісності є або нулем, або [[Просте число|простим числом]].
*[[Теорема Веддерберна]]: довільна скінченна область цілісності є полем.
*Область цілісності <math>A</math> є рівною перетину [[Локалізація кільця|локалізацій]] <math>A_\mathfrak{m}</math> по всіх [[Максимальний ідеал|максимальних ідеалах]] <math>\mathfrak{m}.</math>
 
:Оскільки <math>A \subset A_\mathfrak{m}</math>для всіх максимальних ідеалів <math>\mathfrak{m}</math>, то також <math>A \subset \bigcap_\mathfrak{m} A_\mathfrak{m}.</math>
:Навпаки нехай <math>x \in \bigcap_\mathfrak{m} A_\mathfrak{m}</math>але <math>x \not \in A.</math> Множина <math>I = \{z \in A :\colon zx \in A \}</math> є власним ідеалом у <math>A</math> (оскільки <math>1 \not \in I</math>). Тому ''<math>I''</math> міститься у деякому максимальному ідеалі <math>\mathfrak{m}</math>. За умовою <math>x \subset A_\mathfrak{m},</math> тобто можна записати <math>x = a/s,\; a \in A, s \not \in \mathfrak{m}.</math> Але тоді <math>sx = a \in A</math> і тому має бути <math>s \in I \subset \mathfrak{m}.</math> Одержане протиріччя завершує доведення.
 
== Варіації і узагальнення ==
Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності. Прикладами некомутативних областей цілісності є [[тіло (алгебра)|тіла]], а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад [[кватерніони]] з цілими координатами. Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.
Іноді у визначенні області цілісності не вимагають комутативності.
Прикладами некомутативних областей цілісності є [[тіло (алгебра)|тіла]], а також підкільця тіл, що містять одиницю, наприклад [[кватерніони]] з цілими координатами.
Проте, взагалі кажучи, невірно, що будь-яка некомутативна область цілісності може бути вкладена в деяке тіло.
 
== Література ==
42

редагування