Диференціал (математика): відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Bluelinking 1 books for verifiability.) #IABot (v2.1alpha3 |
|||
Рядок 14:
== Історія і використання ==
Нескінченно малі величини грали значну роль в розвитку математичного аналізу. [[Архімед]] використовував їх, хоча він і не вірив, що твердження з нескінченно малими величинами можуть бути точні.<ref>{{Citation |first=Carl B. |last=Boyer |authorlink=Carl Benjamin Boyer |title=A History of Mathematics |edition=2nd |publisher=John Wiley & Sons, Inc. |year=1991 |isbn=0471543977 |chapter=Archimedes of Syracuse |url-access=registration |url=https://archive.org/details/historyofmathema00boye }}</ref> [[Бхаскара II]] розробив концепцію диференціального відображення нескінченно малих змін.<ref name="Joseph">George G. Joseph (2000), ''The Crest of the Peacock'', pp. 298–300, [[Princeton University Press]], ISBN 0-691-00659-8</ref> [[Шараф аль-Дін аль-Тусі]] використовував їх для обчислення [[Похідна|похідної]] [[Кубічне рівняння|кубічного рівняння]].<ref>J. L. Berggren (1990), «Innovation and Tradition in Sharaf al-Din al-Tusi's Muadalat», ''Journal of the American Oriental Society'' '''110''' (2): 304-9</ref><ref name=MacTutor>{{MacTutor|id=Al-Tusi_Sharaf|title=Sharaf al-Din al-Muzaffar al-Tusi}}</ref> [[Ісаак Ньютон]] називав їх похідними. Проте [[Ґотфрід Вільгельм Лейбніц|Лейбніц]] був перший хто застосував термін диференціал до нескінченно малих величин, а також придумав позначення похідної, яке використовується дотепер.
В позначенні Лейбніца, якщо ''x'' — змінне число тоді d''x'' позначає нескінченно малий приріст змінної ''x''. Таким чином, якщо ''y'' функція від ''x'', тоді [[похідна]] ''y'' по змінній ''x'' часто позначається <math>\frac{\mathrm dy}{\mathrm dx}</math>, що також може бути записано (позначення Ньютона чи Лагранжа) <math>{\dot y}(x)</math> чи <math>y'(x)</math>. Використання диференціалів в такій формі спровокувало багато критики, наприклад знаменитий памфлет The Analyst єпископа Берклі. В будь-якому разі таке позначення залишилось популярним, тому що воно наочно відображає принцип, що похідна функції ''y''(''x'') дорівнює [[нахил]]у функції в точці, що можна отримати, якщо обчислити [[границя|границю]] відношення <math>\frac{\Delta\,y}{\Delta\,x}</math> приросту ''y'' в залежності від приросту ''x'', якщо приріст ''x'' прямує до нуля. Диференціали також застосовують в аналізі розмірності, де диференціал наприклад d''x'' маю таку саму розмірність як і змінна ''x''.
Рядок 36:
=== Випадок багатьох змінних ===
Приклад 1. Нехай в околі точки <math>\overrightarrow{x_0}=\{x_0^1,x_0^2,...,x_0^n\}</math> задана функція багатьох змінних <math>f(\overrightarrow{x}): X \rightarrow Y</math>.
Нехай існує такий вектор <math>\overrightarrow{A}=\{A^1,A^2,...,A^n\}</math>, що <math>f(\overrightarrow{x})-f(\overrightarrow{x_0})=\overrightarrow{A} (\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0}) + o(\overrightarrow{x}-\overrightarrow{x_0})</math> при <math>\overrightarrow{x} \rightarrow \overrightarrow{x_0}</math>, де добуток векторів є скалярним добутком.
Рядок 43:
Тоді функція <math>df=\overrightarrow{A}\overrightarrow{dx}</math> називатиметься '''диференціалом''' функції <math>f(\overrightarrow{x})</math> в точці <math>\overrightarrow{x_0}</math>.
Приклад 2. Тепер нехай <math>\Delta f=f(x_{1}+\Delta x_{1}, x_{2}+\Delta x_{2},...,x_{n}+\Delta x_{n})-f(x_{1},x_{2},...,x_{n}),</math> прирощення функції <math>f(x_{1},x_{2},...,x_{n}).</math> Неперервність часткових похідних <math>\frac{\partial f}{\partial x_{i}}</math> є умовою, достатньою для існування диференціалу. У цьому випадку
<math>\Delta f=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i}+R_{1},</math>
де <math>R</math> нескінченно мале у порівнянні із <math>\sqrt{\Delta x^{2}_{1}+\Delta x^{2}_{2}+...+\Delta x^{2}_{n}}.</math> Вираз <math>df=\sum^{n}_{i=1}\frac{\partial f}{\partial x_{i}}\Delta x_{i}</math> є диференціалом функції багатьох змінних.
<br />
=== Відображення між евклідовими просторами ===
Диференціал відображення - головна лінійна частина відображеня, яка задається деякою матрицею. Також поняття диференціала можна ввести для відображення між [[евклідів простір|евклідовими просторами]] ''ƒ'' '''R'''<sup>''n''</sup> → '''R'''<sup>''m''</sup>. Нехай '''x''',Δ'''x''' ∈ '''R'''<sup>''n''</sup> — два вектори в просторі '''R'''<sup>''n''</sup>. Зміна значення функції ''ƒ'' при зміні аргументу на Δ'''x''' рівна:
: <math>\Delta f = f(\mathbf{x}+\Delta\mathbf{x}) - f(\mathbf{x}).</math>
Якщо існує ''m'' × ''n'' [[матриця (математика)|матриця]] ''A'' для якої
| |||