Нерівність Єнсена: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Мітки: перше редагування Візуальний редактор |
Немає опису редагування |
||
Рядок 17:
:<math>\lambda_1+\lambda_2+\ldots+\lambda_n=1,</math>
За допомогою нерівності
* [[Нерівність Коші]],
* [[Нерівності про середнє]].
== Інтегральне формулювання ==
Для [[опукла функція|опуклої функції]] <math>\varphi\left( x \right)</math> і інтегровної функції <math>f\left( x \right) </math> нерівність Єнсена записується як
: <math>\varphi\left(\int_a^b f(x)\, dx\right) \le \frac{1}{b-a}\int_a^b \varphi((b-a)f(x)) \,dx. </math>
Більш загально, нехай (Ω, A, μ) є [[вимірний простір|вимірним простором]] для якого загальна міра μ(Ω) є рівною 1, {{mvar|g}} є μ-інтегровною функцією із значеннями у дійсному відрізку (можливо нескінченному) {{mvar|I}} і {{math|φ}} є опуклою функцією із {{mvar|I}} у ℝ.
Тоді:
::<math>\varphi\left(\int_{\Omega}g~\mathrm d\mu\right) \le \int_\Omega \varphi \circ g\, \mathrm d\mu,</math>
:де інтеграл з правої сторони може бути рівним {{math|+∞}}.
== Імовірнісне формулювання ==
| |||