Лінія Ейлера: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 21:
| title = Euler and triangle geometry
| volume = 91}}.</ref>{{rp|p. 447}}<ref name="ac"/>{{rp|p. 102}}.
=== Векторний доказ ===
Нехай <math>ABC</math> - трикутник. Доказом того, що [[описане коло]] <math>O</math>, [[центроїд]] <math>G</math> та [[ортоцентр]] <math>H</math> є [[Колінеарність|колінеарними]], покладаються на [[Евклідів вектор|вільні вектори]]. По-перше, <math>G</math> задовольняє відношення:
:<math>\vec{GA}+\vec{GB}+\vec{GC}=0.</math>
Це випливає з того, що абсолютні [[барицентричні координати]] <math>G</math> дорівнюють <math>\frac{1}{3}:\frac{1}{3}:\frac{1}{3}</math>. Далі проблема Сильвестра<ref name="Dorrie">Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, {{ISBN|0-486-61348-8}}, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)</ref> читається як
:<math>\vec{OH}=\vec{OA}+\vec{OB}+\vec{OC}.</math>
Тепер, використовуючи векторне додавання, ми виводимо це
:<math>\vec{GO}=\vec{GA}+\vec{AO}\,\mbox{(in triangle }AGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GB}+\vec{BO}\,\mbox{(in triangle }BGO\mbox{)},\,\vec{GO}=\vec{GC}+\vec{CO}\,\mbox{(in triangle }CGO\mbox{)}.</math>
Додаючи ці три відносини, термін за терміном, ми отримуємо це
:<math>3\cdot\vec{GO}=\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{GA}\right)+\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{AO}\right)=0-\left(\sum\limits_{\scriptstyle\rm cyclic}\vec{OA}\right)=-\vec{OH}.</math>
На закінчення <math>3\cdot\vec{OG}=\vec{OH}</math> і так три точки <math>O</math>, <math>G</math> і <math>H</math> (у цьому порядку) є колінеарними.
У книзі Доррі<ref name="Dorrie">Dörrie, Heinrich, "100 Great Problems of Elementary Mathematics. Their History and Solution". Dover Publications, Inc., New York, 1965, {{ISBN|0-486-61348-8}}, pages 141 (Euler's Straight Line) and 142 (Problem of Sylvester)</ref> лінія Ейлера та проблема Сильвестра об'єднані в єдине доведення. Однак більшість доказів проблеми Сільвестра покладаються на основні властивості вільних векторів, незалежно від лінії Ейлера.
== Посилання ==
| |||