Вписаний чотирикутник: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 48:
:<math>K=\sqrt{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)} \,</math>
де {{math|''s''}}, [[Півпериметр|півперметр]], {{math|''s'' {{=}} {{sfrac|1|2}}(''a'' + ''b'' + ''c'' + ''d'')}}. Це є наслідком [[Формула Бретшнайдера|формули Бретшнайдера]] для загального чотирикутника, оскільки протилежні кути є додатковими у циклічному випадку. Якщо також {{math|''d'' {{=}} 0}}, циклічний чотирикутник стає трикутником, а формула зводиться до [[Формула Герона|формули Герона]]. Циклічний чотирикутник має [[Екстремум|максимальну]] площу серед усіх чотирикутників, що мають однакову послідовність бічних довжин. Це ще одне наслідок формули Бретшнайдера. Це також можна довести за допомогою [[Диференціальне та інтегральне числення|обчислення]]<ref>{{citation|last=Peter|first=Thomas|title=Maximizing the area of a quadrilateral|journal=The College Mathematics Journal|volume=34|issue=4|date=September 2003|pages=315–6|jstor=3595770|doi=10.2307/3595770}}</ref>.Чотири неоднакові довжини, кожна менша від суми інших трьох, є сторонами кожного з трьох невідповідних циклічних чотирикутників<ref name=Coxeter>{{citation |first1=Harold Scott MacDonald |last1=Coxeter |first2=Samuel L. |last2=Greitzer |title=Geometry Revisited |chapter=3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula |chapterurl=https://books.google.com/books?id=VdAM58ksvcIC&pg=PA57 |year=1967 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-619-2 |pages=57, 60}}</ref>, які за формулою Брахмагупта мають однакову площу. Зокрема, для сторін {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}} і {{math|''d''}} сторона {{math|''a''}} може бути протилежною будь-якої сторони {{math|''b''}}, сторони {{math|''c''}} або сторони {{math|''d''}}. Площа циклічного чотирикутника з послідовними сторонами {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} та кутом {{math|''B''}} між сторонами {{math|''a''}} і {{math|''b''}} можна виразити як<ref name=Durell/>{{rp|p.25}}
:<math>K = \tfrac{1}{2}(ab+cd)\sin{B}</math>
або<ref name=Durell/>{{rp|p.26}}
Рядок 119:
*Не існує циклічних чотирикутників з раціональною площею та з нерівними раціональними сторонами ні в [[Арифметична прогресія|арифметичній]], ні в [[Геометрична прогресія|геометричній прогресії]]<ref name="Buchholz">{{citation|last1=Buchholz|first1=R. H.|last2=MacDougall|first2=J. A.|doi=10.1017/S0004972700032883|issue=2|journal=Bulletin of the Australian Mathematical Society|mr=1680787|pages=263–9|title=Heron quadrilaterals with sides in arithmetic or geometric progression|volume=59|year=1999}}</ref>.
*Якщо циклічний чотирикутник має бічні довжини, які утворюють [[Арифметична прогресія|арифметичну прогресію]], чотирикутник також є {{Нп|Ексцентричний чотирикутник|ексцентричним||Ex-tangential quadrilateral}}.
*Якщо протилежні сторони циклічного чотирикутника витягнуті на зустріч при {{math|''E''}} і {{math|''F''}}, то внутрішні [[Бісектриса|бісектриси]] кутів на {{math|''E''}} і {{math|''F''}} перпендикулярні<ref name=Coxeter>{{citation |first1=Harold Scott MacDonald |last1=Coxeter |first2=Samuel L. |last2=Greitzer |title=Geometry Revisited |chapter=3.2 Cyclic Quadrangles; Brahmagupta's formula |chapterurl=https://books.google.com/books?id=VdAM58ksvcIC&pg=PA57 |year=1967 |publisher=Mathematical Association of America |isbn=978-0-88385-619-2 |pages=57, 60}}</ref>.
== Чотирикутники Брахмагупта ==
| |||