Вписаний чотирикутник: відмінності між версіями

Будь-який [[квадрат]], [[прямокутник]], [[Рівнобічна трапеція|рівнобедрена трапеція]] або [[антипаралелограм]] є циклічним. [[Дельтоїд]] є циклічним, [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]] якщо він має два прямих кута. [[Біцентричний чотирикутник]] - це циклічний чотирикутник, який також є [[Описаний чотирикутник|описаним]], а {{Нп|ексбіцентричний чотирикутник|||Ex-tangential quadrilateral}} — циклічним чотирикутником, який також є дотичним. [[Гармонійний чотирикутник]] — це циклічний чотирикутник, у якого добуток довжин протилежних сторін рівнийдорівнює.

Опуклий чотирикутник є циклічним [[Тоді й лише тоді|тоді і лише тоді]], коли чотири [[Перпендикулярність|перпендикулярні]] бісектриси до сторін є [[Конкурентні прямі|конкурентними]]. Ця спільна точка є центром [[Описане коло|описаного кола]]<ref name="Usiskin">{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |chapter=10. Cyclic quadrilaterals |chapterurl=https://books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=63–65 |series=Research in mathematics education}}</ref>. Опуклий чотирикутник ABCD є циклічним тоді і лише тоді, коли його [[Кут|протилежні кути]] є додатковими, тобто<ref name="Usiskin2"Usiskin>{{citation |first1=Zalman |last1=Usiskin |first2=Jennifer |last2=Griffin |first3=David |last3=Witonsky |first4=Edwin |last4=Willmore |title=The Classification of Quadrilaterals: A Study of Definition |chapter=10. Cyclic quadrilaterals |chapterurl=https:/>/books.google.com/books?id=ZkoUR5lRwdcC&pg=PA63 |year=2008 |publisher=IAP |isbn=978-1-59311-695-8 |pages=63–65 |series=Research in mathematics education}}</ref><ref name="Fraivert">{{citation
|last1=Fraivert|first1=David|last2=Sigler|first2=Avi|last3=Stupel|first3=Moshe
|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
|title=Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral
|url=https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772|year=2019}}</ref>

Прямою теоремою було положення 22 в трактаті [[Евклід|Евкліда]] "[[Начала Евкліда]]"<ref>{{citation |date=June 1997 |last=Joyce |first=D. E. |chapterurl=http://aleph0.clarku.edu/~djoyce/java/elements/bookIII/propIII22.html |title=Euclid's Elements |chapter=Book 3, Proposition 22 |publisher=Clark University|title-link=Euclid's Elements }}</ref>. Окрім того, опуклий чотирикутник є циклічним тоді і тільки тоді, коли кожен [[Внутрішній та зовнішній кути|зовнішній кут]] дорівнює протилежному [[Внутрішній та зовнішній кути|внутрішньому куту]]. Ще одна [[необхідна і достатня умова]], щоб опуклий чотирикутник {{math|''ABCD''}} був циклічним — кут між стороною та [[Діагональ|діагоналлю]] дорівнює куту між протилежною стороною та іншою діагоналлю<ref name="Andreescu">{{citation|first1=Titu|last1=Andreescu|first2=Bogdan|last2=Enescu|title=Mathematical Olympiad Treasures|chapter=2.3 Cyclic quads|chapterurl=https://books.google.com/books?id=mwUHJpvLOPsC&pg=PA44|year=2004|publisher=Springer|isbn=978-0-8176-4305-8|pages=44–46, 50|mr=2025063}}</ref>. НаприкладТобто, наприклад,

[[Теорема Птолемея]] виражає добуток довжин двох діагоналей {{math|''e''}} і {{math|''f''}} циклічного чотирикутника, рівного сумі добутків протилежних сторін:<ref name="Durell" />{{rp|p.25}}<ref name="Fraivert2" /Fraivert>{{citation

ЗворотняЗворотна теорема також вірнаправда. Тобто, якщо це рівняння задовільненезадоволено в опуклому чотирикутнику, тотоді утворюється циклічний чотирикутник. Нехай вУ опуклому чотирикутнику {{math|''ABCD''}} нехай {{math|''EFG''}} є діагональним трикутником ABCD і нехай <math>\omega</math> - коло дев'яти точок {{math|''EFG''}}. {{math|''ABCD''}} є циклічним тоді і лише тоді, коли точка перетину бімедіанів ABCD належить дев'ятиточковому колу <math>\omega</math><ref>{{Cite journal|last=Fraivert|first=David|date=July 2019|title=New points that belong to the nine-point circle|journal=The Mathematical Gazette|volume=103|issue=557|pages=222–232|doi=10.1017/mag.2019.53}}</ref><ref>{{Cite journal|last=Fraivert|first=David|date=2018|title=New applications of method of complex numbers in the geometry of cyclic quadrilaterals|url=https://ijgeometry.com/wp-content/uploads/2018/04/5-16.pdf|journal=International Journal of Geometry|volume=7|issue=1|pages=5–16|via=}}</ref><ref name="Fraivert3"Fraivert>{{citation
|last1=Fraivert|first1=David|last2=Sigler|first2=Avi|last3=Stupel|first3=Moshe
|journal=International Journal of Mathematical Education in Science and Technology
|title=Necessary and sufficient properties for a cyclic quadrilateral
|url=https://doi.org/10.1080/0020739X.2019.1683772|year=2019}}</ref>. Якщо дві лінії, першаодна, що містить відрізок {{math|''AC''}}, таа другаінша, що містить відрізок BD, перетинаються на P, то чотири точки {{math|''A''}}, {{math|''B''}}, {{math|''C''}}, {{math|''D''}} є суцільними, тодіякщо і лише тодіякщо<ref>{{citation|last=Bradley|first=Christopher J.|title=The Algebra of Geometry: Cartesian, Areal and Projective Co-Ordinates|publisher=Highperception|year=2007|isbn=978-1906338008|page=179|oclc=213434422}}</ref>.

Перетин P може бути внутрішнім чи зовнішнім щодо кола. У першому випадку вписанийциклічний чотирикутник —- {{math|''ABCD''}}, а в другому випадку циклічний чотирикутник — {{math|''ABCD''}}. Коли перетин є внутрішнім, рівність зазначає, що добуток відрізка довжини, на який {{math|''P''}} ділить одну діагональ, дорівнює іншій діагоналі. Це відомовідома як {{Нп|Теорема пересічних хордакордів|Теорема пересічних хордакордів|en|Intersecting chords theorem}}, оскільки діагоналі циклічного чотирикутника є хордамиакордами кругообігу. Ще одна характеристика полягає в тому, що опуклий чотирикутник {{math|''ABCD''}} є циклічним тоді і лише тоді<ref>{{citation
|last=Hajja |first=Mowaffaq
|journal=Forum Geometricorum
|pages=103–6
|title=A condition for a circumscriptible quadrilateral to be cyclic
|url=http://forumgeom.fau.edu/FG2008volume8/FG200814.pdf
|volume=8 |year=2008}}</ref>

[[Площа]] {{math|''K''}} циклічного чотирикутника зі сторонами {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}} задана [[Формула Брамагупти|формулою Брахмагупта]]<ref name="Durell2Durell" />{{rp|p.24}}

де {{math|''θ''}} — або кут між діагоналями. За умови, що {{math|''A''}} не є прямим кутом, площа також може бути виражена як<ref name="Durell5" />{{rp|p.26}}

:<math>\displaystyle K=2R^2\sin{A}\sin{B}\sin{\theta}</math>, де {{math|''R''}} — радіус [[Описане коло|описанного кола]]. Як прямий наслідок<ref name="Alsina">{{citation|first1=Claudi|last1=Alsina|first2=Roger|last2=Nelsen|title=When Less is More: Visualizing Basic Inequalities|chapter=4.3 Cyclic, tangential, and bicentric quadrilaterals|chapterurl=https://books.google.com/books?id=U1ovBsSRNscC&pg=PA64|url=https://books.google.com/books?id=U1ovBsSRNscC|year=2009|publisher=Mathematical Association of America|isbn=978-0-88385-342-9|page=64}}</ref>,

:<math>K\le 2R^2</math>,

де є рівність, тодіякщо і тільки тодіякщо чотирикутник є квадратом.

Для циклічного чотирикутника із послідовними сторонами {{math|''a''}}, {{math|''b''}}, {{math|''c''}}, {{math|''d''}}, [[Півпериметр|півпериметромпівперметром]] {{math|''s''}} та кутом {{math|''A''}} між сторонами {{math|''a''}} та {{math|''d''}} [[тригонометричні функції]] {{math|''A''}} задаються<ref>{{citation|last1=Siddons|first1=A. W.|first2=R. T.|last2=Hughes|title=Trigonometry|publisher=Cambridge University Press|year=1929|page=202|oclc=429528983}}</ref>

де {{math|''s''}} — [[півпериметрПівпериметр|півперіметр]]<ref name="Durell9">{{citation|first1=C. V.|last1=Durell|first2=A.|last2=Robson|title=Advanced Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=3iYbExAsepEC|year=2003|publisher=Courier Dover|isbn=978-0-486-43229-8|origyear=1930}}</ref>{{rp|p.31}}.

Циклічний чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d і [[Півпериметр|півпериметромпівперметром]] s має окружність ([[радіус]] [[Описане коло|описанного кола]]), задану<ref name="Alsina23" /><ref>{{citation|last=Hoehn|first=Larry|title=Circumradius of a cyclic quadrilateral|journal=Mathematical Gazette|volume=84|issue=499|date=March 2000|pages=69–70|jstor=3621477|doi=10.2307/3621477}}</ref>

:<math>4KR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}</math>,

Чотири лінії відрізка, кожен [[Перпендикулярність|перпендикулярний]] одній стороні циклічного чотирикутника і проходить через [[Середня точка|середину]] протилежної сторони, є [[Конкурентні прямі|конкурентними прямимипрямимі]]<ref name="Altshiller-Court">{{citation|first=Nathan|last=Altshiller-Court|title=College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle|year=2007|publisher=Courier Dover|isbn=978-0-486-45805-2|edition=2nd|origyear=1952|oclc=78063045|pages=131, 137–8}}</ref>{{rp|p.131;}}<ref name="Honsberger" /> . Ці відрізки рядків називаються малитутами<ref>{{mathworld|title=Maltitude|urlname=Maltitude}}</ref>, що є абревіатурою для середньої висоти. Їх спільна точка називається антицентром. Він має властивість бути відображенням [[Описане коло|описанного кола]] у "центрі вершини". Таким чином, у циклічному чотирикутнику окружність, «центр вершин» та антицентр є [[Колінеарність|колінеарними]]<ref name="Honsberger2">{{citation|first=Ross|last=Honsberger|title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry|chapterurl=https://books.google.com/books?id=6oduPgvOAhwC&pg=PA35|year=1995|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-88385-639-0|pages=35–39|chapter=4.2 Cyclic quadrilaterals|series=New Mathematical Library|volume=37}}</ref>.

*У циклічному чотирикутнику {{math|''ABCD''}} [[Вписане і позаписані в трикутник кола|стимулятори]] ''M''₁, ''M''₂, ''M''₃, ''M''₄ (див. Рисунок праворуч) у трикутниках {{math|''DAB''}}, {{math|''ABC''}}, {{math|''BCD''}}, та {{math|''CDA''}} є вершинами [[Прямокутник|прямокутника]]. Це одна з теорем, відома як [[Японська теорема про вписаний в коло чотирикутник|японська теорема]]. Ортоцентри цих же чотирьох трикутників є вершинами чотирикутника, що [[Конгруентність (геометрія)|конгруентне]] {{math|''ABCD''}}, а [[Центроїд|центроїди]] в цих чотирьох трикутниках —- вершини іншого циклічного чотирикутника<ref name="Andreescu2" />.

*Якщо циклічний чотирикутник має бічні довжини, які утворюють [[Арифметична прогресія|арифметичну прогресію]], то чотирикутник також є {{Нп|Ексцентричний чотирикутник|ексцентричним||Ex-tangential quadrilateral}}.

*У циклічному (ортодіагональному) чотирикутнику відстань між серединами точок діагоналей дорівнює відстані між центром та точкою, де діагоналі перетинаються<ref name="Altshiller-Court5" />.

У [[Сферична тригонометрія|сферичній геометрії]] сферичний чотирикутник, утворений з чотирьох пересічних більших кіл, циклічний і тоді, і лише тоді, коли підсумки протилежних кутів рівні, тобто α + γ = β + δ для послідовних кутів α, β, γ, δ чотирикутника<ref>{{Cite journal|last=Wimmer|first=Lienhard|date=2011|title=Cyclic polygons in non-Euclidean geometry|url=|journal=Elemente der Mathematik|volume=66|issue=2|pages=74–82|doi=|pmid=|access-date=}}</ref>. Один напрям цієї теореми було доведено І. А. Лекселем у 1786 р. Лексель<ref>{{Cite journal|last=Lexell|first=A. J.|date=1786|title=De proprietatibus circulorum in superficie sphaerica descriptorum|url=|journal=Acta Acad. Sci. Petropol.|volume=6|issue=1|pages=58–103|doi=|pmid=|access-date=}}</ref> показав, що у сферичному чотирикутнику, вписаному в невелике коло сфери, суми протилежних кутів рівні, і що в описаному чотирикутнику суми протилежних сторін рівні. Перша з цих теорем — сферичний аналог плоскої теореми, а друга теорема — її подвійна, тобто результат обміну великими колами та їх полюсами<ref>{{Cite book|title=A History of Non-Euclidean Geometry - Springer|last=Rosenfeld|first=B. A.|year=1988|series=Studies in the History of Mathematics and Physical Sciences|volume=12|doi=10.1007/978-1-4419-8680-1|isbn=978-1-4612-6449-1}}</ref>. Кіпер та ін.<ref>{{Cite journal|last=Kiper|first=Gökhan|last2=Söylemez|first2=Eres|date=2012-05-01|title=Homothetic Jitterbug-like linkages|journal=Mechanism and Machine Theory|volume=51|pages=145–158|doi=10.1016/j.mechmachtheory.2011.11.014}}</ref> довели зворотну теорему: — якщоЯкщо підсумки протилежних сторін рівні в сферичному чотирикутнику, то для цього чотирикутника існує вписане коло.