Вписаний чотирикутник: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 109:
:<math>K=uv[2t(1-uv)-(u+v)(1-t^2)][2(u+v)t+(1-uv)(1-t^2)]</math>
:<math>4R=(1+u^2)(1+v^2)(1+t^2).</math>
== Ортодіагональний випадок ==
=== Описане коло і площа ===
Для циклічного чотирикутника, який також є {{Нп|Ортодіагональний чотирикутник|ортодіагональним||Orthodiagonal quadrilateral}} (має перпендикулярні діагоналі), припустимо, що перетин діагоналей ділить одну діагональ на відрізки довжин {{math|''p''<sub>1</sub>}} та {{math|''p''<sub>2</sub>}}, а іншу діагональ поділяє на відрізки довжин {{math|''q''<sub>1</sub>}} та {{math|''q''<sub>2</sub>}}. Тоді<ref>{{citation|first1=Alfred S.|last1=Posamentier|first2=Charles T.|last2=Salkind|title=Challenging Problems in Geometry|chapterurl=https://books.google.com/books?id=ld-_Puq62mcC&pg=PA104|year=1970|publisher=Courier Dover|isbn=978-0-486-69154-1|pages=104–5|chapter=Solutions: 4-23 Prove that the sum of the squares of the measures of the segments made by two perpendicular chords is equal to the square of the measure of the diameter of the given circle.|edition=2nd}}</ref> (перша рівність - це пропозиція 11 у "[[Книга Лем|Книзі лем]]" [[Архімед|Архімеда]])
:<math> D^2=p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2=a^2+c^2=b^2+d^2 </math>
де {{math|''D''}} - [[діаметр]] [[Описане коло|описанного кола]]. Це справедливо, оскільки діагоналі - це перпендикулярні [[Коло|хорди кола]]. З цих рівнянь випливає, що [[Описане коло|описанний]] {{math|''R''}} може бути виражений як
:<math> R=\tfrac{1}{2}\sqrt{p_1^2+p_2^2+q_1^2+q_2^2} </math>
або, з точки зору сторін чотирикутника, як<ref name=Altshiller-Court/>
:<math> R=\tfrac{1}{2}\sqrt{a^2+c^2}=\tfrac{1}{2}\sqrt{b^2+d^2}. </math>
З цього також випливає<ref name=Altshiller-Court/>
:<math> a^2+b^2+c^2+d^2=8R^2. </math>
Таким чином, згідно з [[Чотирикутник|чотирикутною теоремою Ейлера]], окружність може бути виражена через діагоналі {{math|''p''}} і {{math|''q''}}, а відстань {{math|''x''}} між серединами діагоналей як
:<math> R=\sqrt{\frac{p^2+q^2+4x^2}{8}}. </math>
Формула для [[Площа|площі]] {{math|''K''}} циклічного ортодіагонального чотирикутника в чотирьох сторонах отримується безпосередньо при поєднанні теореми Птолемея і формули для {{Нп|Ортодіагональний чотирикутник|площі ортодіагонального чотирикутника||Orthodiagonal quadrilateral}}. Результат<ref>{{citation|last=Josefsson|first=Martin|journal=[[The Mathematical Gazette]]|pages=213–224|title=Properties of Pythagorean quadrilaterals|volume=100|issue=July|year=2016|doi=10.1017/mag.2016.57}}.</ref>{{rp|p.222}}:
:<math> K=\tfrac{1}{2}(ac+bd). </math>
=== Інші властивості ===
*У циклічному [[Вписаний чотирикутник|ортодіагональному чотирикутнику]] антицентр збігається з точкою, де перетинаються діагоналі<ref name="Altshiller-Court2" />.
*[[Теорема Брамагупти]] стверджує, що для циклічного чотирикутника, який також є ортодіагональним, перпендикуляр з будь-якої сторони через точку перетину діагоналей ділить протилежну сторону<ref name="Altshiller-Court3" />.
*Якщо циклічний чотирикутник також є ортодіагональним, відстань від [[Описане коло|центру]] до будь-якої сторони дорівнює половині довжини протилежної сторони<ref name="Altshiller-Court4" />.
*У циклічному ортодіагональному чотирикутнику відстань між серединами точок діагоналей дорівнює відстані між центром та точкою, де діагоналі перетинаються<ref name="Altshiller-Court5" />.
== Часткові випадки ==
* [[Прямокутник]]
| |||