Вписаний чотирикутник: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
ДіДі (обговорення | внесок) мНемає опису редагування |
||
Рядок 73:
:<math>\cos{\frac{\varphi}{2}}=\sqrt{\frac{(s-b)(s-d)(b+d)^2}{(ab+cd)(ad+bc)}}</math>
де {{math|''s''}} - [[Півпериметр|півперіметр]]<ref name="Durell9">{{citation|first1=C. V.|last1=Durell|first2=A.|last2=Robson|title=Advanced Trigonometry|url=https://books.google.com/books?id=3iYbExAsepEC|year=2003|publisher=Courier Dover|isbn=978-0-486-43229-8|origyear=1930}}</ref>{{rp|p.31}}.
== Формула описаного кола Парамешвара ==
Циклічний чотирикутник з послідовними сторонами a, b, c, d і [[Півпериметр|півперметром]] s має окружність ([[радіус]] [[Описане коло|описанного кола]]), задану<ref name="Alsina23" /><ref>{{citation|last=Hoehn|first=Larry|title=Circumradius of a cyclic quadrilateral|journal=Mathematical Gazette|volume=84|issue=499|date=March 2000|pages=69–70|jstor=3621477|doi=10.2307/3621477}}</ref>
:<math>R=\frac{1}{4} \sqrt{\frac{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}{(s-a)(s-b)(s-c)(s-d)}}.</math>
Це отримав індійський математик {{Нп|Ватассері Парамешвара|||Parameshvara}} у 15 столітті.
Використовуючи [[Формула Брамагупти|формулу Брахмагупта]], формулу Парамешвари можна переробити як
:<math>4KR=\sqrt{(ab+cd)(ac+bd)(ad+bc)}</math>
де {{math|''K''}} - площа циклічного чотирикутника.
== Антицентр та колінеарність ==
Чотири лінії відрізка, кожен [[Перпендикулярність|перпендикулярний]] одній стороні циклічного чотирикутника і проходить через [[Середня точка|середину]] протилежної сторони, є [[Конкурентні прямі|конкурентними прямимі]]<ref name="Altshiller-Court">{{citation|first=Nathan|last=Altshiller-Court|title=College Geometry: An Introduction to the Modern Geometry of the Triangle and the Circle|year=2007|publisher=Courier Dover|isbn=978-0-486-45805-2|edition=2nd|origyear=1952|oclc=78063045|pages=131, 137–8}}</ref>{{rp|p.131;}}<ref name="Honsberger" /> . Ці відрізки рядків називаються малитутами<ref>{{mathworld|title=Maltitude|urlname=Maltitude}}</ref>, що є абревіатурою для середньої висоти. Їх спільна точка називається антицентром. Він має властивість бути відображенням [[Описане коло|описанного кола]] у "центрі вершини". Таким чином, у циклічному чотирикутнику окружність, «центр вершин» та антицентр є [[Колінеарність|колінеарними]]<ref name="Honsberger2">{{citation|first=Ross|last=Honsberger|title=Episodes in Nineteenth and Twentieth Century Euclidean Geometry|chapterurl=https://books.google.com/books?id=6oduPgvOAhwC&pg=PA35|year=1995|publisher=Cambridge University Press|isbn=978-0-88385-639-0|pages=35–39|chapter=4.2 Cyclic quadrilaterals|series=New Mathematical Library|volume=37}}</ref>.
Якщо діагоналі циклічного чотирикутника перетинаються на {{math|''P''}}, а [[Середня точка|середні точки]] діагоналей - {{math|''M''}} і {{math|''N''}}, то антицентром чотирикутника є [[Висота трикутника|ортоцентр]] [[Трикутник|трикутника]] {{math|''MNP''}}.
== Часткові випадки ==
| |||