Конус: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
доповнення, джерело |
доповнила розділом вписані та описані тіла |
||
Рядок 1:
{{otheruses|Конус (значення)}}
[[Файл:Cone 3d.png|thumb|Прямий і похилий конуси]]
[[Файл:Cutting cone.svg|thumb|[[Зрізаний конус|Зрізаний круговий конус]]]]
=== '''Конус. Означення конуса''' ===
'''Ко́нус''' ([[геометрія]]) ({{lang-la|conus}} від {{lang-grc|κώνος}} — «шпичак шолома», «шишка»)<ref>{{ЕСУМ2}}</ref> — [[геометричне тіло]], отримане шляхом об'єднання всіх [[промінь (геометрія)|променів]], що виходять з однієї точки — '''вершини конуса''', і таких що проходять через довільну плоску [[крива|криву]]. Іноді конусом називають частину такого [[Геометричне тіло|тіла]], отриману об'єднанням усіх [[відрізок|відрізків]], що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають '''основою конуса''', а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.▼
За [[ДСТУ]]: '''конус''' — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють [[конічна поверхня|конічну поверхню]], конічну деталь чи конічний елемент<ref>ДСТУ 2499-94 Конуси та конічні з'єднання. Терміни та визначення.</ref>. У курсі шкільної геометрії розглядають конус (точніше, [https://formula.kr.ua/tila-obertannya/pryamij-krugovij-konus.html прямий круговий конус]).▼
▲'''Ко́нус''' ({{lang-la|conus}} від {{lang-grc|κώνος}} — «шпичак шолома», «шишка»)<ref>{{ЕСУМ2}}</ref> — [[геометричне тіло]], отримане шляхом об'єднання всіх [[промінь (геометрія)|променів]], що виходять з однієї точки — '''вершини конуса''', і таких що проходять через довільну плоску [[крива|криву]]. Іноді конусом називають частину такого [[Геометричне тіло|тіла]], отриману об'єднанням усіх [[відрізок|відрізків]], що з'єднують вершину і точки пласкої поверхні (яку в такому випадку називають '''основою конуса''', а конус називають таким, що спирається на дану поверхню). Надалі буде розглядатися саме цей випадок, якщо не сказано про інше.
▲За [[ДСТУ]]: '''конус''' — узагальнений термін, під яким залежно від конкретних умов розуміють [[конічна поверхня|конічну поверхню]], конічну деталь чи конічний елемент<ref>ДСТУ 2499-94 Конуси та конічні з'єднання. Терміни та визначення.</ref>.
Відрізок, опущений перпендикулярно з вершини на площину основи (а також його довжина), називається '''висотою конуса'''. Якщо площа основи має скінченне значення, то об'єм конуса також має скінченне значення і дорівнює третині добутку висоти на площу основи. Таким чином всі конуси, що спираються на дану основу, і мають вершину в площині, паралельній цій основі, мають рівний об'єм, оскільки їх висоти рівні. Якщо основою конуса є многокутник, тоді конус стає [[піраміда (геометрія)|пірамідою]]. Таким чином піраміди є підмножиною конусів.
Рядок 12 ⟶ 13:
Якщо основа конуса має [[центр симетрії]] (наприклад, є [[еліпс]]ом) і ортогональна проекція вершини конуса на його основу збігається з цим центром, то конус називається прямим. При цьому пряма, що сполучає вершину конуса з центром його основи називається віссю конуса. Якщо ж ортогональна проекція вершини не збігається з центром основи, то такий конус називається косим.
=== '''Конус обертання''' ===▼
▲== Конус обертання ==
Якщо основою конуса є [[круг]], то конус називають '''круговим'''. Прямий круговий конус (часто його називають просто конусом) можна отримати обертанням прямокутного [[трикутник]]а навколо одного з [[катет]]ів, який таким чином стане '''віссю''' конуса. Конус обертання в прямокутній системі координат описується системою нерівностей:
: <math>\left\{ {{x^2 +y^2 \le \left(\frac{zr}{h}\right)^2}\atop {0\le z\le h}}\right .</math>
Рядок 23 ⟶ 24:
Конус, що спирається на еліпс, гіперболу чи параболу називається відповідно еліптичним, гіперболічним чи параболічним конусом (останні два мають нескінченний об'єм).
=== '''Площа поверхні конуса''' ===▼
▲== Площа поверхні конуса ==
[[Файл:Stozek schemat.svg|thumb|Прямий круговий конус]]
Повна площа прямого кругового конуса
Рядок 33:
: <math>S_b = \pi r l</math>,
де ''r'' та ''l'' — радіус кола основи та довжина твірної бічної поверхні відповідно.
=== '''Об'єм конуса''' ===▼
▲== Об'єм конуса ==
У загальному випадку:
: <math> V = \frac{1}{3}Sh </math>,
Рядок 42 ⟶ 41:
: <math> V = \frac{1}{3}\pi r^2h </math>,
Формулу об'
=== '''Кут конуса''' ===▼
▲== Кут конуса ==
Цей термін означає кут <math>\alpha</math> при вершині в осьовому перерізі конуса.
: <math> \alpha = 2 \operatorname{arctg} \frac{r}{h}</math>
=== ''' Вписані та описані тіла''' ===
=== ''' Конус, описаний навколо піраміди''' ===
Конус можна описати навколо піраміди, якщо її основа - многокутник, навколо якого можна описати коло, а вершина піраміди проектується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висоти конуса і піраміди співпадають.
=== ''' Конус, вписаний у піраміду''' ===
Конус можна вписати в піраміду, якщо її основа - многокутник, у який можна вписати коло, а вершина піраміди проектується в центр цього кола. Радіус конуса дорівнює радіусу цього кола; висота конуса і піраміди співпадають.
=== ''' Куля, описана навколо конуса''' ===
Кулю можна описати навколо довільного конуса. Коло основи конуса і вершина конуса лежать на поверхні кулі. Центр кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, описаного навколо трикутника, який є осьовим перерізом конуса. Переріз площиною, що проходить через вісь конуса (осьовий переріз).
=== ''' Об'єм кулі, описаної навколо прямого кругового конуса''' ===
: <math>V_k={1 \over 6} \pi \frac{l^6}{ (l^2-r^2) \sqrt{l^2-r^2}}</math>
: де <math> l </math> — твірна конуса;
<math> r </math> — радіус основи конуса.
=== ''' Куля, вписана в конус''' ===
Кулю можна вписати в довільний конус. Куля дотикається основи конуса в його центрі і бічної поверхні конуса по колу, що лежить в площині, яка паралельна основі конуса. Центр кулі лежить на осі конуса і співпадає з центром кола, вписаного в трикутник, що є осьовим перерізом конуса.
== Див. також ==
| |||