5132
редагування
Теорема Барбашина — Красовського: відмінності між версіями
нема опису редагування
Ɪ (обговорення | внесок) м (ɪ перейменував сторінку з Теорема Барбашина-Красовського на Теорема Барбашина — Красовського) |
Ɪ (обговорення | внесок) Немає опису редагування |
||
|
== Постановка ==
Стан системи у фазовому просторі <math>\mathbb{R}^n</math> (де <math>n \in \mathbb{N}</math>) в час <math>t \in \mathbb{R}</math> даний точкою <math>\vec{x}(t)=( x_1(t), x_2(t), \dots, x_n(t) )</math>, де <math>x_1, x_2, \dots, x_n</math> [[Диференційовна функція|диференційовні функції]]. Розглянемо систему звичайних диференціальних рівнянь <math>\dot{\vec{x}}(t) = f(\vec{x}(t))</math>, де <math>f:\mathbb{R}^n \to \mathbb{R}^n</math> [[неперервна функція]], <math>f(\vec{x}(t)) = \frac{d}{dt}\vec{x}(t)</math>. Систему можна коротко записати як <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math>. Припустимо що <math>\vec{0} \in \mathbb{R}^n</math> є точкою рівноваги системи, тобто <math>f(\vec{0}) = \vec{0}</math>.
== Теорема Барбашина
Якщо існує {{нп|додатно визначена функція|додатно визначена||positive-definite function}} нескінченно велика функція <math>V(\vec{x})</math> [[Повна похідна|похідна]] від якої по часу <math>\frac{dV}{dt}</math> вздовж траєкторій системи <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> є від'ємно-сталою (тобто <math>\frac{dV}{dt} \leq 0</math> повсюди), причому рівність <math>\frac{d}{dt}V(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].
# <math>V(\vec{x}) \to \infty </math> з тим як <math>||\vec{x}|| \to \infty </math>.
Якщо рівність <math>\dot{V}(\vec{x}) \equiv \nabla V \cdot f(\vec{x}) = 0</math> можлива на монжині, яка не містить цілих траєкторій, крім точки <math>\vec{x} = \vec{0}</math>, то нульовий розв'язок системи рівнянь <math>\dot{\vec{x}} = f(\vec{x})</math> [[стійкість в цілому|стійкий в цілому]].
== Оригінальні статті ==▼
* {{ref-en}} [[Джозеф П'єр ЛаСаль|LaSalle, J.P.]] [http://www.math.psu.edu/treluga/511/LaSalle1960.pdf ''Some extensions of Liapunov's second method''], IRE Transactions on Circuit Theory, CT-7, pp. 520-527, 1960. ('''Загальне твердження''')▼
* {{ref-ru}} Барбашин Е. А., Красовский Н. Н. ''Об устойчивости движения в целом'', 1952. ('''Окремий випадок''')▼
* {{ref-ru}} Красовский Н. Н. [https://web.archive.org/web/20151119183337/http://ikfia.ysn.ru/images/doc/Obknoven_differ_uravneniya/Krasovskij1959ru.pdf ''Некоторые задачи теории устойчивости движения''], 1959. ('''Загальне твердження''')▼
== Посилання ==▼
* {{ref-ua}} [[Самойленко Анатолій Михайлович|Самойленко, А. М.]], Кривошея С. А., Перестюк Н. А. ''Диференціальні рівняння у прикладах і задачах'', Вища школа, Київ, 1994.▼
* {{ref-ua}} М. О. Перестюк, О. С. Чернікова. [https://web.archive.org/web/20160304224308/http://mechmat.univ.kiev.ua/dload/pos/teor_stij.pdf''Теорія стійкості''].▼
== Див. також ==
{{reflist}}
▲== Оригінальні статті ==
▲* {{
▲* {{
▲* {{
▲== Посилання ==
▲*
▲*
{{^}}{{портали|Математика}}
[[Категорія:Диференціальні рівняння]]
| |||