Формула Муавра: відмінності між версіями
| [неперевірена версія] | [неперевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Немає опису редагування |
|||
Рядок 24:
:<math>2\sin x \cos x = \sin(2x) .</math>
Це доведення теореми для ''n = 2''.
==Обчислення коренів n ступеня==
Схожа формула може бути використана й и при обчисленні корнів ''n''-й ступеня з ненулевого комплексного числа:
: <math>z^{1/n} = \big[r\big(\cos(\varphi + 2\pi k) + i \sin(\varphi + 2\pi k)\big)\big]^{1/n} = r^{1/n} \left(\cos\frac{\varphi + 2\pi k}{n} + i\sin\frac{\varphi + 2\pi k}{n}\right),</math>
де <math>k = 0,1,\dots,n-1</math>.
З [[Основна теорема алгебри|основної теореми алгебри]] випливає, що корени <math>n</math>-й ступени з комплексного числа завжди існуюсть, та їх кількість дорівнює <math>n</math>. На комплексній площіні, як видно з формули, усі ці корені є вершинами [[правильний многокутник|правильного ''n''-кутника]], що вписан у [[коло]] радиуса <math>\sqrt[n]{r}</math> з центром у нулі.
При <math>r = 1</math> з формули Муавра випливає вираз для обчислення значень [[Тригонометричні функції#Загальні_формули_для_функцій_кратних_кутів|тригонометричних функцій]] з кратним аргументом.
== Див. також ==
| |||