Теорема Борсука — Уляма: відмінності між версіями
| [перевірена версія] | [перевірена версія] |
Вилучено вміст Додано вміст
Виправлено джерел: 1; позначено як недійсні: 0.) #IABot (v2.0 |
Немає опису редагування |
||
Рядок 1:
'''Теорема Бо́рсука — У́лама''' стверджує, що кожна неперервна функція із ''n''-сфери в [[Евклідів простір|евклідів ''n''-простір]] відображає деяку пару діаметрально протилежних точок в ту саму точку. Дві точки на сфері називаються діаметрально протилежними, якшо вони знаходяться в прямо протилежних напрямках від центру сфери. Теорема була вперше сформульована [[Станіслав
=== Теорема ===
Якщо задана [[неперервна функція|неперервна]] [[функція (математика)|функція]] <math>f:S^n \to \mathbb{R}^n</math>, де <math>S^n</math> — [[сфера]] в <math>(n+1)</math>-мірному [[Лінійний простір|лінійному просторі]], то існують такі дві діаметрально протилежні точки <math>a, b \in S</math>, що <math>f(a)=f(b)</math>.
=== Приклади та
З теореми для випадку ''n = 2'' зокрема випливає, що у будь-який момент часу на поверхні [[Земля|Землі]] завжди можна знайти дві діаметрально протилежні точки з однаковими [[температура|температурою]] повітря і [[атмосферний тиск|атмосферним тиском]]. При цьому припускається, що [[температура]] і [[атмосферний тиск]] є неперервними функціями точки земної поверхні. Для випадку ж, коли ''n = 1'', з теореми випливає, що на земному [[екватор]]і завжди існує пара діаметрально протилежних точок із тією самою [[температура|температурою]] повітря, що можна значно легше проілюструвати, використовуючи [[Теорема Больцано-Коші|Теорему Больцано-Коші]].
== Наслідки ==
* З теореми Борсука —
* Жодна підмножина <math>\R^n</math> не є [[гомеоморфізм|гомеоморфною]] до <math>S^n</math>.
* Теорема Люстерника — Шнірельмана: Якщо <math>S^n</math> покривається ''n'' + 1 [[відкрита множина|відкритою множиною]], тоді одна з цих пар містить (''x'', −''x'') — діаметрально протилежні точки. (дане твердження є еквівалентним до теореми Борсука —
* Для довільних [[компактний простір|компактних]] множин <math>A_1,\ldots, A_n</math> в <math>\R^n</math> існує [[гіперплощина]], що ділить кожну з них на дві підмножини однакової [[міра множини|міри]].
| |||